
Потоком
вектора через
ориентированную поверхность
называется
поверхностный интеграл второго типа
.
(14)
Выведем
эту формулу, исходя из физического
смысла введённого понятия. Рассмотрим
частный случай стационарного поля,
когда скорость течения жидкости во всех
точках поля одна и та же (см.
рис. 7). Количество жидкости Q,
протекшее за единицу времени через
прямоугольник
со
скоростью
,
равно произведению его площади
на
скорость
:
.
Величина Q постоянна в любом сечении, параллельном данному.
Очевидно,
что это же количество жидкости протечёт
и через площадку ABCD,
составляющую угол с
прямоугольником A’B’C’D’.
Тогда
,
где S - площадь ABCD,
,
(15)
где -
проекция скорости на нормаль
.
Разумеется, формула будет верна для площадки любого вида, например, как на рис. 8.
Рис.
7
Рис. 8
Перейдём
к общему случаю. Решим задачу о вычислении
количества жидкости, протекшего через
произвольную поверхность . Пусть
в некоторой части пространства задано
поле скоростей жидкости, т.е. в каждой
точке M(x,
y, z)
этого пространства задан переменный
вектор скорости
.
Рис.
9
Возьмём
гладкую ориентированную поверхность (рис.
9) и подсчитаем количество жидкости,
протекающее через эту поверхность.
Разобьём поверхность
сетью
произвольных кривых на п участков
,
в каждом из которых выберем произвольную
точку Mi.
Будем считать, что каждая площадка
,
в силу её малости, плоская и поток,
проходящий через неё, - постоянный,
именно такой, как в точке Mi в
направлении нормали ni,
построенной в точке Mi.
Можно
приближённо подсчитать количество
жидкости, протекшее через поверхность по
формуле (15), суммируя результаты по
всем i =
1, 2, …, n :
,
(16)
где -
площадь участка
,
-
скорость поля в точке Mi,
-
угол между нормалью к поверхности
,
построенной в точке Mi,
и вектором скорости
.
Преобразуем
формулу (16), используя свойства скалярного
произведения вектора на
единичный вектор нормали
Перейдём
к пределу при ,
когда
,
т. е. каждая площадка
стягивается
в точку:
.
Величина Q называется
потоком жидкости через поверхность и
выражается поверхностным интегралом
(сравните с формулой 11 Темы 15)
(17)
или .
(18)
Таким образом, мы получили различные формулы для вычисления потока векторного поля с помощью поверхностных интегралов первого и второго типов.
Пример
6. Вычислить
поток вектора через
полную поверхность эллипсоида
в
сторону внешней нормали.
Решение. Подынтегральная функция терпит разрыв в точке (0, 0, 0) - центре эллипсоида. Формулу Остроградского нельзя применять, хотя поверхность и замкнута, но можно воспользоваться формулой (17), связывающей поверхностные интегралы первого и второго типов:
2. Дифференциальная форма
Дифференциальная форма общего уравнения непрерывности такова:
|
где
∇• - дивергенция,
t - время,
σ добавление q на единицу объёма в единицу времени. Члены которые добавляют (σ > 0) или удаляют (σ < 0) q называются "источниками" и "стоками" соответственно.
Это общее уравнение может быть использовано для вывода любого уравнения непрерывности, начиная с простого уравнения неразрывности и до уравнения Навье-Стокса.
Если q сохраняющаяся величина, которая не может быть создана или уничтожена (например энергия), тогда σ = 0, и уравнение непрерывности принимает вид:
3. Возьмем несжимаемую жидкость и рассмотрим в ней трубку тока. Объём жидкости, прошедшей через поперечное сечение Sза время Dt, равенSvDt.
Тогда Q = Sv - поток жидкости, т.е. объём жидкости, прошедшей через поперечное сечениеSза единицу времени.
Если жидкость несжимаема, то объем жидкости между сечениями S1 иS2будет оставаться неизменным, и тогдаS1v1 = S2v2. Это справедливо для любой парыS1 иS2, и мы получаем
Sv = const–теорема о неразрывности струи:
Для несжимаемой жидкости величина потока жидкости Sv в любом сечении одной и той же трубки тока должна быть одинаковой.
4. Закон Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:
Здесь
— плотность жидкости,
— скорость потока,
— высота,
на которой находится рассматриваемый
элемент жидкости,
— давление в
точке пространства, где расположен
центр массы рассматриваемого элемента
жидкости,
— ускорение
свободного падения.
5. Трубка Пито–Прандтля.
Трубка Пито–Прандтля (см. рис. 3.6) позволяет одновременно определить величину динамического и статического давления в определенной точке потока.
Через отверстие А происходит измерение динамического давления. Через отверстия М измеряется статическое давление жидкости. Жидкость под действием давления поднимается по соответствующим пьезометрическим трубкам до точек А¢ и М¢.
Рис. 3.6. Трубка Пито–Прандтля
Так
как плотность газа (воздуха) значительно
меньше плотности жидкости, то давлением
воздуха можно пренебречь. Разность
давления в точках А и М будет .
Разность давления Δp зависит
от динамического давления на входе в
трубку Пито–Прандтля, что следует из
уравнения Бернулли для точек А и М:
,
где – скорость потока на входе в трубку Пито–Прандтля. Таким образом,
,
откуда получаем
|
|
6. Фо́рмула Торриче́лли – связывает скорость истечения жидкости из малого отверстия в открытом сосуде с высотой жидкости над отверстием[1].
Формула
Торричелли утверждает, что
скорость истечения
жидкости через отверстие в тонкой
стенке, находящееся в ёмкости на
глубине
от
поверхности, такая же, как и у тела,
свободно падающего с высоты
,
то есть
где –ускорение
свободного падения.
Последнее
выражение получено в результате
приравнивания приобретённой кинетической
энергии и
потерянной потенциальной энергии
.
Эта формула была получена (хотя и не в приведённой выше форме) итальянским учёным Эванджелиста Торричелли, в 1643 году. Позже было показано, что эта формула является следствием закона Бернулли.
7. Закон Стокса, математическим выражением которого является формула Стокса, описывает взаимодействие между неподвижной безграничной вязкой жидкостью и помещенным в нее движущимся равномерно и прямолинейно телом. В соответствии с механическим принципом относительности, такая задача эквивалентна задаче об обтекании неподвижным телом набегающего на него стационарного потока жидкости, скорость v0 которого вдали перед телом равна - u.
При обтекании тела потоком несжимаемой (div v = 0) жидкости (рис. 1), соответствующим малым значениям числа Рейнольдса
Re = v0 l /n <<1,
где l - характерный линейный размер тела;
n - кинематическая вязкость жидкости,
уравнение движения вязкой жидкости (урравнение Навье-Стокса) может быть представлено в следующей приближенной форме:
v grad p 0
или
rot v 0,
где - динамическая вязкость жидкости;
p - давление;
- оператор Лапласа.