Равновесие идеального газа в поле тяготения Земли. Барометрическая формула.
Молекулы находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Найдем зависимость давления от высоты P(h). Выделим в атмосфере вертикальный столб с постоянным сечением S=1.
Пусть температура T=const, поле тяготения однородно. На высоте h давление P связано с весом воздуха, находящемся от h до границы атмосферы. Из условия равновесия
,
где ρ - плотность на высоте h.
При давлениях, близких к нормальным, воздух можно рассматривать как идеальный газ
(из
уравнения состояния идеального газа),
Для слоя воздуха с параметрами от (h1, P1) до (h2, P2)
,
T=T(h) - в общем случае.
Для изотермической атмосферы (T=T(h)=const).
- барометрическая
формула.
Относительно уровня моря, где P1 равно нормальному давлению P0 и h1=0, зависимость давления от высоты имеет вид
.
Из формулы находится P по h или h по P. Прибор для измерения высоты, основанный на этой зависимости, – высотомер (альтиметр).
(
и
)
или (
,
):
,
где n, n0 - число молекул в единице объема на высоте h и h=0.
Эта формула описывает распределение молекул по высоте; здесь числитель отражает притяжение молекул к Земле, а знаменатель отвечает за их тепловое движение, разбрасывающее молекулы по всем высотам.
- распределение
Больцмана.
Для одинаковых частиц, находящихся в состоянии теплового равновесия, формула может быть использована для любого потенциального силового поля (не только поля сил тяжести).