5. Двойственная задача линейного программирования. Экономическая интерпретация двойственной задачи линейного программирования.

1.5. Двойственная задача линейного программирования

 

Рассмотрим задачу линейного программирования

z=c1x + c₂x₂ +...+сnхn --> mах

при ограничениях

На основе тех же исходных данных может быть поставлена еще одна задача:

g=b₁y₁ +b₂y₂ +...+b_ky_k -> min

при ограничениях

 

Сопоставим обе задачи. Первая из них - задача на максимум, вторая - задача на минимум; в соответствии с этим изменился и характер ограничений (знак неравенств). В первой задаче n неизвестных и k ограничений, во второй - k неизвестны х и n ограничений. Коэффициенты в целевых функциях и величины в правых частях неравенств при переходе от одной задачи к другой меняются местами. Кроме того, при этом переходе транспонируется матрица ограничений А.

Обе задачи образуют двойственную пару задач. Первую из них называют прямой задачей, а вторую - двoйсmвeннoй.

Общие правила построения двойственной задачи:

1) каждому ограничению исходной задачи соответствует двойственная переменная;

2) матрицы ограничений взаимно транспонированы;

3) правые части системы ограничений одной задачи являются коэффициентами при соответствующих переменных целевой функции другой задачи. При этом максимизация целевой функции заменяется на минимизацию, и наоборот.

4) каждому ограничению-неравенству исходной задачи соответствует в двойственной задаче условие неотрицательности соответствующей двойственной переменной, а равенству - произвольная двойственная переменная.

В линейном программировании доказывается следующая основная теорема двойственности.

Теорема 1.8. Если одна из двойственных задач линейного программирования имеет решение, то имеет решение и другая. При этом значения целевых функций совпадают, т. е.

max z = min g.

 

1.5.1. Экономическая интерпретация двойственной задачи

 

Для экономической интерпретации двойственной задачи будем полагать, например, что прямая задача - задача распределения ресурсов. Предположим, что в производстве используется k различных видов ресурсов, объем которых ограничен величинами b_i. Может производиться n видов продукции, величина выпуска которых характеризуется переменными х_i. Известны нормы затрат каждого ресурса на единицу каждого вида продукции - а_ij, а также стоимостная оценка единицы продукции - с_j.

Переменные величины, подлежащие определению в двойственной задаче, являются оценки y_i, предписываемые каждому виду ресурсов. Они должны быть такими, чтобы общая оценка всего имеющегося количества ресурсов была минимальной, но при условии, что суммарная оценка ресурсов, расходуемых на единицу любого вида продукции, будет не меньше, чем цена за эту единицу.

С экономической стороны решение прямой задачи дает оптимальный план выпуска продукции, а решение двойственной задачи - оптимальную систему условных оценок применяемых ресурсов.

Следующая теорема устанавливает связь между решениями двух задач.

Теорема 1.9. Пусть x_i*,...,х_n* и у₁*,...,y_k* - оптимальные планы двойственных задач. Тогда

1.Если a_i1,x_i* +...+а_inх_n* < b_i (i), то у_i* = 0.

2. Если уi* >0 (i),то a_i1x₁* +...+а_inх_n* =b_i

Экономическое содержание: двойственные оценки не полностью используемых ресурсов всегда равны нулю; положительную двойственную оценку могут иметь лишь ресурсы, полностью используемые в оптимальном плане.

З.Если а_1jy₁* +...+a_kjy_k* >с_j (j),то х_j*=0.

4.Если х_j* > 0 (j),то а_1jу₁* +...+ a_kjy_k* =с_j.

Экономическое содержание: если по двойственным оценкам производство данной продукции убыточно, то выпускать ее нерационально и она не вошла в оптимальный план; если данный вид продукции вошел в оптимальный план, то двойственная оценка затрачиваемых ресурсов равна ее цене и производство продукции по оценкам оправдано.