Преобразование стационарного случайного сигнала линейной динамической системой

Пусть на линейную систему, имеющую передаточную функцию W(p), действует стационарный случайный сигнал X(t) с математическим ожиданием m_x(t) и корреляционной функцией R_x(Q). На выходе системы сигнал Y(t) будет также случайным с математическим ожиданием m_x(t) и корреляционной функцией R_y(Q) в установившемся режиме. Поскольку m_x(t) - неслучайная функция времени, то m_y (t) находится обычным для неслучайных сигналов способом:

m_y(p) = W(p)m_x(p),

где m_y(p) = L{m _Y(t)}; m_x(p) = L{m_x(t)}.

Корреляционную функцию стационарного случайного сигнала на выходе системы можно вычислить в соответствии с выражением

(3)

На основании уравнения свертки можно получить:

(4)

(5)

где W() = L{W(p)} - весовая функция системы.

Стационарный сигнал на выходе системы, который устанавливается при T, определяется путем замены верхних пределов интегрирования в (4) и (5) на  и подстановки этих выражений в уравнение (3)

(6)

Из уравнения (6) можно найти корреляционную функцию случайного сигнала на выходе системы по известной корреляционной функции входного сигнала.

Связь корреляционной функции R_Y(Q) и спектральной плотности S_Y() выходного сигнала характеризуется выражением

(7)

Если выражение R_Y(Q) из уравнения (6) подставить в (7) и учесть, что

W(j)  W(-j) = | W(j) |²,

то выражение (7) принимает вид:

S_Y() = | W(j) |²  S_X().

Дисперсия на выходе системы вычисляется по формуле:

(8)

Если подынтегральное выражение формулы (8) представить в виде:

где A(j) = a₀(j)ⁿ+a₁ (j)^n-1+...+a_n-1 (j)+a_n;

G(j) = b₀(j)^2n-2+b₁(j)^2n-4+...+b_n-2(j)²+b_n,

то в общем случае для устойчивой системы при любом n интеграл

может быть вычислен по формуле

(9)

;

Расчет линейной сау при воздействии помех

В данной лабораторной работе рассматривается САУ, на которую действует одновременно полезный стационарный случайный сигнал G(t) и стационарная помеха N(t) (рис.4.1).

Рис. 4.1. Структурная схема исследуемой САУ.

Далее изложен способ вычисления дисперсии ошибки D_e воспроизведения полезного сигнала G(t) в установившемся режиме.

Ошибкой системы е(t) считают разность между действительной величиной выходной переменной Y(t) и желаемой, за которую обычно принимают входную переменную G(t)

е(t) = G(t) - Y(t).

Поскольку система линейная, к ней применим принцип суперпозиции. Тогда ошибка е(t) от воздействия двух факторов (G(t) и N(t)) может быть представлена суммой двух составляющих

е(t) = е_g(t) + е_n(t).

Аналогично дисперсия ошибки

D_e = M{e²(t)} = M{[e_g(t) + e_n(t)]²} =

= M{e_g²(t)} + M{e_n²(t)} + 2M{e_g(t)e_n(t)} =

= D_eg + D_en + 2K_gn,

где D_eg = M{e_g²(t)} - дисперсия составляющей ошибки от случайного полезного сигнала;

D_en = M{e_n²(t)} - дисперсия составляющей ошибки от сигнала помехи;

K_gn = M{e_g(t)e_n(t)} - взаимный корреляционный момент e_g(t) и e_n(t).

Если считать, что G(t) и N(t) некоррелированы, то можно записать:

D_e = D_eg + D_en. (10)

Выражение (8) позволяет вычислить составляющие дисперсии ошибки через спектральную плотность и передаточную функцию САУ по ошибке:

(11)

(12)

где - передаточная функция ошибки от полезного сигнала g(t);

- передаточная функция ошибки от помехи N(t).

При известных параметрах объекта с помощью формулы (10) можно вычислить D_e.

В данной лабораторной работе требуется определить оптимальное значение одного из параметров системы - постоянной времени T_и интегрирующего элемента модели объекта управления, при которой обеспечивается минимум дисперсии ошибки. Для этого по формуле (10) вычисляется

D_e = f(T_и).

Оптимальное значение Ти находят обычным способом из выражения