- •Электротехника и электроника
- •Часть 1
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Электрические цепи постоянного тока
- •1.1. Основные свойства и методы анализа электрических цепей
- •1.1.1. Состав электрической цепи
- •1.1.2. Электрические схемы, классификация и режимы работы
- •1.1.3. Исследование электрических цепей
- •Последовательное соединение приёмников электрической энергии
- •Параллельное соединение приёмников электрической энергии.
- •Последовательное соединение источников электрической энергии
- •Распределение мощности в цепи
- •Потеря напряжения в проводах
- •1.1.4. Расчёт электрической цепи при помощи уравнений Кирхгофа
- •1.1.5. Метод контурных токов
- •1.1.6. Метод наложения
- •1.1.7. Метод узловых напряжений
- •1.1.8. Нелинейная цепь постоянного тока
- •1.2. Переходные процессы в линейных электрических цепях.
- •1.2.1. Основные понятия о переходных процессах, законы коммутации и начальные условия
- •1.2.2. Классический метод исследования переходных процессов
- •2. Электрические цепи переменного тока
- •2.1. Однофазный синусоидальный ток
- •2.1.1. Основные понятия о переменном токе
- •2.1.2. Синусоидальный ток
- •2.1.3. Среднее значение переменного тока и напряжения
- •2.1.4. Действующее значение переменного тока и напряжения.
- •2.1.5.Векторные диаграммы переменного тока.
- •2.1.6. Представление переменного тока в символическом виде.
- •2.1.7. Цепи синусоидального тока, их состав и свойства.
- •2.1.8. Применение законов Кирхгофа для цепей переменного тока.
- •2.1.9. Мощность цепи переменного тока.
- •2.2. Трёхфазный ток
- •2.2.1. Понятие о многофазных системах.
- •2.2.2. Соединение звездой
- •2.2.3. Соединение треугольником
- •2.2.4. Мощность симметричной трёхфазной цепи
- •Литература
1.1.5. Метод контурных токов
Этот метод значительно упрощает расчеты сложных цепей, так как позволяет сократить число уравнений. В соответствии с ним используется только второй закон Кирхгофа для каждого контура, и определяются контурные токи.
Общие правила расчёта:
выбираются независимые контуры;
в каждом контуре предполагается наличие контурного тока, положительное направление которого указывается стрелкой произвольно. Контурный ток – это ток, нереальный, задаваемый исключительно в целях упрощения расчетов;
составляются уравнения только по второму закону Кирхгофа для каждого контура, и определяются контурные токи;
реальные токи находятся как алгебраическая сумма контурных токов в данной ветви.
На рис. 1.19 показана сложная система, имеющая шесть ветвей (обозначим их условно индексами а, в, ав, ас, вс, с), в которых необходимо определить токи , ,,,и .
Рис. 1.19
Искомые токи в ветвях цепи должны удовлетворять системе уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа.
Число узлов в схеме равно четырем (A, B, C и D), поэтому по первому закону Кирхгофа можно было бы написать три уравнения. Но при расчёте сложных цепей методом контурных токов этого не делается, а сразу составляются оставшиеся три уравнения по второму закону Кирхгофа.
Если каждому контуру ( ) на рис. 1.19 приписывать некоторый идеализированный ток произвольно выбранного направления (I1 , I2 , I3), называемый контурным током, то действительный ток в любом общем элементе, например резисторе, двух соединительных контуров можно рассматривать как алгебраическую сумму соответствующих контурных токов. Следовательно исходя из принципа наложения будем считать, что в каждом контуре протекают контурные (идеализированные) токи I1 , I2 , I3 , из которых образуются действительные (реальные) токи ветвей , ,,,и .
Составим уравнение для первого контура, обходя его в направлении собственного контурного тока и учитывая падение напряжения от всех контурных токов (естественно, смежных контуров), протекающих в резисторах первого контура. От тока I1 будем иметь суммарное падение напряжения, равное I1( + + ). По резистору проходит еще и контурный токI2 смежного контура в направлении, совпадающем с обходом контура , создающем падение напряжения I2. По резистору протекает токI3 так же в направлении обхода контура . Падение напряжения от этого тока равно I3. Поэтому уравнение для первого контура, составленное по второму закону Кирхгофа, имеет вид:
.
В правой части уравнения получаем т.к.совпадает с направлением обхода контура, аимеет противоположное направление.
Аналогично составим уравнение для второго и третьего контуров:
;
.
Члены уравнений ивзяты с отрицательными знаками, так как токI3 в резисторе противоположен по направлению обхода второго контура, а токI2 в резисторе противоположен направлению обхода третьего контура.
Сумму всех сопротивлений какого-либо контура условимся называть собственным сопротивление этого контура и обозначим двоичным индексом номера контура, например, r11 – собственное сопротивление первого контура, r22 – собственное сопротивление второго контура и т.д.
В нашем случае собственные сопротивления первого, второго и третьего контуров запишутся соответственно так:
;
;
Или в общем случае .
Сопротивления резисторов, которые одновременно входят в состав двух контуров, будем называть взаимными и считать их положительными, когда направления контуров токов в них совпадают, и отрицательными, когда направления токов противоположны, в частности:
– взаимное сопротивление 1…2 контуров. В резисторенаправления токовисовпадают, поэтому значение взаимного сопротивленияпишем со знаком плюс и считаем его положительным;
– взаимное сопротивление 2…3 контуров. Токиив резисторенаправлены противоположно, соответственно значение взаимного сопротивленияберется со знаком минус и считается отрицательным;
– взаимное сопротивление 1…3 контуров. Токиив резисторенаправлены одинаково, и его можно считать положительным.
В общем случае можно написать , что выражает очевидные равенства взаимных сопротивлений резисторов контуровm и i.
Алгебраическую сумму всех ЭДС, действующих в каком-либо контуре, будем называть контурной ЭДС:
– контурная ЭДС первого контура.
– контурная ЭДС второго контура.
– контурная ЭДС третьего контура.
Или в общем виде для к-го контура .
В результате система уравнений для схемы на рис. 1.19 примет вид:
Для сложной цепи из n контуров может быть написана в общем виде система из n уравнений:
Полученная система уравнений является математической формулировкой метода контурных токов. Так как число контурных токов определяется количеством контуров и всегда меньше числа токов в ветвях, то применение метода контурных токов уменьшает число неизвестных величин в решаемой системе уравнений, что в значительной степени упрощает анализ сложных электрических цепей.
Приведенную сумму уравнений можно переписать в более удобном виде:
или в матричных обозначениях RI=E:
R=[rij] – матрица сопротивлений (квадратная матрица, т.к. число строк и столбцов равно n, т.е. n x n);
I=[Ij] – матрица токов [nx1];
E=[Ei] – матрица ЭДС [nx1].
Решая эти уравнения относительно любого контура тока Ik известными математическими методами, получим
где – главный определитель матрицы сопротивлений;
–алгебраическое дополнение, получаемое при вычеркивании в главном определители m-й строки и k-го стобца и умножении полученного определителя (минора) на (-1)m+k,
,
где – минор элемента, т.е. определитель квадратичной матрицы, полученной изR вычеркиванием m-ой строки и k-го столбца. В общем случае матрица сопротивлений запишется:
.
Главный определитель квадратичной матрицыR находится с помощью разложения Лапласа:
где – общепринятая в математике запись определителя матрицыR.
Запишем решение системы уравнений для частного примера на рис. 1.19 в общем виде:
Алгебраическое дополнения определителя:
Вычислив значение контурных токов
определим действительные значения токов во всех ветвях. Ток в каком-либо резисторе равен алгебраической сумме контурных токов. При этом положительным считается такой контурный ток, который в данном резисторе совпадает по направлению с результирующим током. Так, для нашего примера имеем: