2. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Задача о назначениях.

1. Дано

Найти

при условиях:

. . .

. . .

для или

Задача 2. Найти и

при ,и дляили,

если .

Задача 3. Задача коммивояжера. Решить методом ветвей и границ.

.

Глава 4. Нелинейное программирование

1. Основные понятия

Напомним алгоритмы решений некоторых задач математического анализа, которые используются в данной главе:

1. Поиск абсолютного экстремума дифференцируемой функции нескольких переменных.

Необходимый признак существования экстремума дифференцируемой функции.

Пусть функция имеет экстремум в точкеи дифференцируема в этой точке.

Тогда все частные производные в точке.

Информация. Главными минорами матрицы

называются определители левого верхнего угла:

, ,,

.

Стационарными точками функции называются точки, в которых выполнено необходимое условие существования экстремума. Такие точки называют «подозрительными» на экстремум.

Достаточный признак существования экстремума дифференцируемой функции.

Рассматривается функция . Пусть в точкевсе частные производные функциии в точкеглавные миноры матрицы

имеют знаки "" или "".

Тогда в первом случае в точке функция имеет минимум, во втором случае — максимум.

При любых других распределениях знаков главных миноров функция не имеет экстремума в точке.

2. Поиск условного экстремума дифференцируемой функции нескольких переменных.

Рассматривается функция . требуется найти её экстремум при ограничениях:

, (4.1)

Такой экстремум носит название «условный».

Функцией Лагранжа для при ограничениях (4.1) называется функция

(4.2)

Теорема (справедлива лишь при некоторых условиях, которым должна удовлетворять система ограничивающих равенств (4.1), которые мы здесь не приводим).

Условный экстремум функции при ограничениях (4.1) совпадает с абсолютным экстремумом функции Лагранжа (4.2) . Следовательно.

Необходимый признак существования условного экстремума дифференцируемой функции выглядит следующим образом:

Пусть функция при условиях (4.1) имеет экстремум в точкеи дифференцируема в этой точке. Все функциитакже дифференцируемы.

Тогда в точке

(4.3)

или

(4.4)

Как правило, решив систему (4.4), т.е. найдя точки , подозрительные на условный экстремум, вопрос об отсутствии или наличии экстремума в них, а также о типе экстремума (или) решают исходя из физического смысла задачи.

2. Постановки задачи нелинейного программирования

Напомним сначала постановку задачи линейного программирования:

найти , такой что

на множестве допустимых решений, заданных ограничениями

, .

Задача нелинейного программирования формулируется аналогично:

найти вектор , (или точку), такой (такую), что целевая функция достигает максимума (минимума):

(4.5)

на множестве допустимых решений, заданных ограничениями

, (4.6)

Задача сводится к нахождению условного экстремума функции при ограничениях, которые задаютсянеравенствами.

Принципиальным отличием является отсутствие требования линейности целевой функции и ограничений, и это отличие говорит о том, что решение не обязательно лежит на границе области допустимых решений, оно может оказаться внутренней точкой области.

Оставляя в стороне вопрос о существовании решения поставленной задачи, можно предложить следующий алгоритм решения:

 находим стационарные точки (подозрительные на экстремум) функции и сохраняем те из них, координаты которых удовлетворяют условиям (4.6);

 находим точки, в которых может достигаться экстремум функции Лагранжа:

 вычисляем значения целевой функции во всех найденных точках и находим её глобальный максимум (или минимум).

Если функцию интерпретировать как доход (стоимость), а— как объемы некоторых ресурсов, то множители Лагранжапоказывают, как изменится максимальный доход (минимальная стоимость), если количество ресурса-го вида увеличить на единицу.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения целевой функции (т.е. её глобальные и) целевой функции

(4.5*)

на множестве допустимых решений, заданных ограничением:

. (4.6*)

Решение.

1. Находим стационарные точки (точки, подозрительные на экстремум) функции и сохраняем те из них, координаты которых удовлетворяют условиям (4.6*).

Для этого решаем систему

, получаем ,

т.е. точку , удовлетворяющую условиям (4.6*) и являющуюся внутренней точкой области допустимых решений.

2. Находим точки, в которых может достигаться экстремум функции Лагранжа:

.

Для этого решаем систему:

,

получаем

, ,,

т.е. шесть точек, лежащих на границе области допустимых решений:

, ,,,

. .

3. Вычисляем значения целевой функции во всех найденных точках:

, ,

, .

Ответ: , достигается при, во внутренней точке области допустимых решений,, достигается при, на границе области допустимых решений.

К сожалению, такой прямой алгоритм решения иногда при практической реализации наталкивается на множество трудностей. Разработан ряд методов решения некоторых специальных задач нелинейного программирования.