Зачет матан 1 семестр

2.в числителе ​умножают два комплексных числа​;

3.полученную дробь почленно делят.

90 ​Тригонометрическая форма комплексного числа.Модуль и

аргумент комплексного числа.

Если ­ ​модуль комплексного числа ,​а ­ его аргумент, то ​тригонометрической формой ​комплексного числа называется выражение

Модуль комплексного числа

Длина радиус­вектора, изображающего комплексное число ,​ называется ​модулем этого комплексного числа​.

Модуль любого ненулевого комплексного числа есть положительное число. Модули ​комплексно сопряженных чисел равны. Модуль произведения/частного двух комплексных чисел равен произведению/частному модулей каждого из чисел.

Модуль вычисляется по формуле:

Аргумент комплексного числа

Угол между положительным направлением действительной оси и радиус­вектора ,​соответствующим комплексному числу ,​ называется ​аргументом​этого числа и обозначается ​.

На практике для вычисления аргумента комплексного числа обычно пользуются формулой:

91) ​Связь между алгебраической и тригонометрической формой

комплексного числа

Модулем комплексного числа z называется следующая величина:

Чаще всего модуль комплексного числа обозначается как ​ρ. Если представлять каждое комплексное число

a+bi, каквекторначаломвточке (0,0) иконцом в точке (a,b), то можно ввести еще одно понятие ­ угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси х, то есть "правый" угол, который получается с осью х. (см. рисунок справа)

Величина этого угла в радианах называется аргументом комплексного числа и обозначается : ​arg ​z.

Оказывается, что z = ρ(cosφ+isinφ)

92) ​Операция умножения комплексных чисел в тригонометрической

форме

– два произвольных комплексных ​числа записанных в тригонометрической форме. Тогда

Доказательство.

93) Операция деления комплексных чисел в тригонометрической форме

94)​Операция возведения в степень комплексного числа в

тригонометрической форме:

Абсцисса a и ордината b комплексного числа a + b∙i выражаются через модуль r и аргумент φ формулами:

a​=​r∙cos(φ) b​=​r∙sin(φ)

Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде: a​+​b∙i​=​r∙(cos(φ)​+​i∙sin(φ))

95)​Показательная форма комплексного числа:

96)​Формула Эйлера:

Пусть ­ некоторое ​комплексное число. По определению

полагают, что

Если число ​­ действительное, то есть​ ,​то

Если число ​­ чисто мнимое, то есть ,​то

Таким образом, имеем равенство

97) ​Связь между тригонометрической и показательной формами комплексного числа. ​Показательная и тригонометрические формы комплексных чисел связаны между собой формулой Эйлера.

Пусть комплексное число в тригонометрической форме имеет вид

. На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим:

Эта записьназываетсяпоказательнойформойкомплексногочисла. Также, как и в тригонометрической форме, здесь ​, ​ .​

98) Операция умножения комплексных чисел в показательной форме.

Умножение комплексного числа на комплексное число

То есть, чтобы найти произведение комплексных чисел нужно перемножить их модули и сложить аргументы.

99) ​Операция деления комплексных чисел в показательной форме.

​То есть, чтобынайтичастноедвух комплексных чисел нужно поделить их модули и отнять аргументы.

100) ​Операция возведения в степень комплексного числа в показательной форме.Для возведения комплексного числа в целую