Зачет матан 1 семестр
.pdf46) Взаимное расположение прямых на плоскости
Две прямые на плоскости могутсовпадать.
Это возможно в том случае, когда прямые имеют по крайней мере две общие точки.
Две прямые на плоскости могут пересекаться.
В этомслучаепрямыеимеютоднуобщуюточку, которуюназывают точкой пересечения прямых. Отдельно стоит рассмотреть расположение прямых на плоскости, когда угол между ними равен девяноста градусам. В этом случае прямые называются
перпендикулярными.
Две прямые на плоскости могут бытьпараллельными.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.
47) Условия параллельности и ортогональности прямых на плоскости
Если прямые L1 и L2 параллельны, то угол между ними равен 0 итангенс этого угла равен 0.
Значит в правой части формулы tgφ=(k2 k1)/(1+k2*k1)
(где k коэффициент из формулы прямой y=kx+b) равен 0, след. k2k1=0, откуда k2=k1
таким образом УСЛОВИЕМ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ
ЯВЛЯЕТСЯ РАВЕНСТВО ИХ УГЛОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Если |
прямые |
L1и |
L2 |
перпендикулярны, |
т. |
е |
φ = π/2, то α2 = π/2 +α1, tgα2 = tg(π/2 +α1) =− ctgα1 =− 1/(tgα1) |
|
|
||||
т.е. k2= 1/k1
таким образом УСЛОВИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ СОСТОИТ В ТОМ, ЧТО ИХ УГЛОВЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ОБРАТНЫ ПО ВЕЛИЧИНЕ И ПРОТИВОПОЛОЖНЫ ПО ЗНАКУ.
48) |
Угол |
между |
прямыми |
на |
плоскости |
49)Условие параллельности двух прямых в пространстве
Если для прямых заданных уравнениями:
(ṝ ṝ)*S=0̅
1) 1
(ṝ ṝ)*S̅=0
2) 12 2
выполняется условия
S̅и S̅коллинеарны
2
(ṝ ṝ) и S̅не коллинеарны
1 2
то прямые параллельны.
50) Условие совпадения прямых
Если для прямых заданных уравнениями:
(ṝ ṝ)*S=0̅
1) 1
(ṝ ṝ)*S̅=0
2) 12 2
выполняется условие
S̅и S̅и (ṝ ṝ ) коллинеарны
2 1
То прямые совпадают.
51) Условие пересечения прямых
Если для прямых заданных уравнениями
(ṝ ṝ)*S=0̅
1) 1
(ṝ ṝ)*S̅=0
2) 12 2
выполняется условие
S̅и S̅и (ṝ ṝ ) компланарны
2 1
S̅и S̅не коллинеарны
2
То прямые пересекаются.
52) Условие скрещивающихся прямых
Если для прямых заданных уравнениями
(ṝ ṝ)*S=0̅
1) 1
(ṝ ṝ)*S̅=0
2) 12 2
выполняется условие
S̅и S̅и (ṝ ṝ ) не компланарны
2 1
То прямые скрещивающиеся.
53) Угол между прямыми в пространстве
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.
Если прямые заданы каноническими или параметрическими (векторнопараметрическими) уравнениями, у которых
направляющие векторы |
, то |
. Условия параллельности
прямых есть |
, условие перпендикулярности |
Две прямые называются пересекающимися, если они имеют одну единственную общую точку. Эта общая точка двух прямых называется точкой пересечения прямых. Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.
54)Условие параллельности прямой и плоскости
Вслучае параллельности прямой линии, каноническое уравнение
которой 
, и плоскости, уравнение которой (с координатами) Ax+ By+ Cz+ D = 0, угол между ними равен нулю,
следовательно sinφ=0 и формула
иэта формула даёт искомое условие Am+Bn+Cl=0 или прямая и
плоскость будут параллельны в том случае если направляющий вектор прямой перпендикулярен нормали плоскости, а их скалярное произведение равно нулю, т.е.
.
55) Условие принадлежности прямой плоскости
Любая точка прямой – точка пересечения прямой и плоскости, то
есть прямая лежит в плоскости. Прямая: 
Плоскость : Ax+ By+ Cz+ D = 0. Очевидно, что координаты точки x0, y0, z0 должны удовлетворять уравнению плоскости: Ax0 + By0+ Cz0 + D = 0. И условие параллельности прямой и плоскости должно выполняться: Am + Bn + Cl = 0. Одновременное выполнение этих условий определяет принадлежность прямой к плоскости.
56) Условие ортогональности прямой и плоскости
Есть прямая линия, каноническое уравнение которой
, и плоскость, уравнение которой (с координатами) Ax+ By+ Cz+ D = 0. Условие ортогональности (перпендикулярности) прямой и плоскости совпадает с условием параллельности этой прямой и перпендикуляра к плоскости т.е.
будет
57)Задача о вычислении угла, образованного прямой и плоскостью.
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
Если в пространстве заданы направляющий вектор прямойL
s = {i; j; k}
и уравнение плоскости
Ax + By + Cz + D = 0,
то угол между этой прямой и плоскостью можно найти используя формулу:
sin ψ = |
|q*s| |
|
, где q{A;B;C} вектор нормали плоскости, а s |
|
|
|
|
||
|q|*|s| |
|
|||
направляющий вектор прямой.
|q *s| =A*i + B*j + C*k
|q| = √A 2 + B 2 + C 2 ; |s| = √i2 + j2 + k2
58) Матрицы. Виды матриц
Матрицей размера mxn называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу
называются ее элементами. Элементы обозначаются ai=номер строки,
ij
j=номер столбца. Если m=n то матрица является квадратной матрицей порядка n. Диагональ идущая от верхнего левого угладонижнегоправого называется главной диагональю. Не квадратная матрица является прямоугольной. Матрица строка (m=1) матрица столбец (n=1). Единичной матрицей порядка n называется квадратная матрица порядка n, у которой все элементы главной диагонали =1, а внедиагонали =0. Дляобозначения единичной матрицы используется буква E. Две матрицы считаются равными если имеют одинаковую размерность и все их элементы равны. Если все элементы квадратной матрицы, расположенные ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, то матрицу называют верхней треугольной (нижней треугольной). Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.
59) Линейные операции над матрицами
Операции сложения матриц и умножения матрицы на число называются
линейными операциями над матрицами. Непосредственно из определений вытекают следующие свойства линейных операций.
Для любых матриц |
одинаковых размеров и любых чисел |
|
справедливы равенства: |
|
|
а. |
(коммутативность сложения); |
|
б. |
|
(ассоциативность сложения); |
в.существует нулевая матрица 
(тех же размеров, что и 
):
; г. существует матрица 
, противоположная матрице
д. 
; е. 
;
ж. 
; з.
Свойства 5 и 6 определяют законы дистрибутивности: умножение матрицы на число дистрибутивно по отношению к сложению матриц (свойство 5); умножение матрицы на число дистрибутивно по отношению к сложению чисел (свойство 6)
60) Сложение матриц. Свойства операции сложения матриц
Определение:
Суммой матриц 
и 
одного размера называется матрица 
такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов:
Складывать можно только матрицы одинакового размера!!!
Задание.Найти 
,если 
Решение.
Ответ.
Свойства сложения и вычитания матриц:
1.Ассоциативность 
2.
, где 
нулевая матрица соответствующего размера.
3.
4.Коммутативность 
61)Умножение матрицы на число. свойства операции умножения матрицы на число.
Определение:
Произведением матрицы 
на ненулевое число 
называется матрица 
того же порядка, полученная из исходной умножением на заданное числовсех ее элементов:
Задание.Чему равна матрица 
,если матрица 
?
Решение.
Ответ.
Свойства умножения матрицы на число:
1.
2.
3.
4.
5.
62)Пусть даны две прямоугольные матрицы 
и 
размерности 
и 
соответственно:
Тогда матрица 
размерностью 
называется их произведением:
где:
Операция умножения двух матриц выполнима тольковтомслучае,есличислостолбцовв первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что форма матриц согласована.Вчастности,умножениевсегдавыполнимо,еслиобасомножителя— квадратные матрицы одного и того же порядка.
Следует заметить, что из существования произведения |
вовсе не следует |
существование произведения 
63) Сочетательное свойство, свойство ассоциативности
A(BC)=(AB)C
Распределительноесвойство, свойстводистрибутивностиотносительно сложения
A(B+C)=AB+BC
Произведение матрицы на единичную матрицу подходящего порядка равно самой матрице
ЕА=А АЕ=А
Произведение матрицы на нулевую матрицу подходящей размерности равно нулевой матрице
0А=0 А0=0
64 Свойство определителя матрицы
1)Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы:
Это свойство вытекает из определения детерминанта и выражает равноправие строк и столбцов определителя.
2)Умножение всех элементов строки или столбца определителя на некоторое число λ равносильно умножению определителя на это число:
.
Такое свойство определителей позволяет, в частности, выносить общий множитель элементов строки или столбца за знак определителя.
3)Если в определителе переставить местами любые две строки или два столбца, то определитель изменяет свой знак на противоположный.
.
4)Если матрица содержит нулевую строку (столбец), то определитель этой матрицы равен нулю:
.
5)Если две строки (столбца) матрицы равны между собой, то определитель этой матрицы равен нулю:
.
6)Если две строки (столбца) матрицы пропорциональны друг другу, то определитель этой матрицы равен нулю:
.
7)Определитель матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:
.
8)Если все элементы kой строки (столбца) определителя представлены в виде сумм a
kj
+ bk j, то определитель можно представить в виде суммы соответствующих определителей:
.
9)Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или соответствующего столбца), умноженные на одно и тоже число:
10)Пусть A и B – квадратные матрицы одного и того же порядка. Тогда определитель произведения матриц равен произведению определителей:
65)Алгебраическим дополнениемэлемента 
матрицы 
называется число
,
где 
— дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы 
путем вычёркивания i й строки и j го столбца.
66) Минор порядка k. Определение.
Минор порядка k матрицы A[mxn] определитель k порядка, который получается вычеркиванием mk строк и nk столбцов.
67)Обратной для матрицы A называется такаяматрица (обозначение А−1 ), которая удовлетворяет условиям А−1 * А = А * А−1 = Е , где Е – единичная матрица.