6. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.

1) Пусть и— бесконечно малые при. 1. Если, то говорят, чтоявляетсябесконечно малой высшего порядка по сравнению с . В этом случае пишут. 2. Если, где—число, отличное от нуля, то говорят, чтои—бесконечно малые одного и того же порядка. В часности, если , то бесконечно малыеиназываются эквивалентными. Запись~означает, чтои—эквивалентные бесконечно малые.          Если, то это означает, что. Таким образом,является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с, т. е.3. Еслии—бесконечно малые одного и того же порядка, причем, то говорят, что бесконечно малаяимеет порядокпо сравнению с. Отметим некоторые свойства бесконечно малых величин: 1^o. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с сомножителями, т. е. если , тои. 2^o. Бесконечно малые иэквивалентны тогда и только тогда, когда их разностьявляется бесконечно малой высшего порядка по сравнению си, т. е. если ,. 3^o. Если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится при замене каждой из бесконечно малых эквивалентной ей бесконечно малой, т.е. если  ,~,~, то.

2) Б.м. функциииназываютсяэквивалентнымиилиравносильными б.м. одного порядка при, если

Обозначают:при.

Очень удобно пользоваться заменой эквивалентных бесконечно малых при нахождении пределов. Замена производится на основе таблицы.

Таблица эквивалентных бесконечно малых.

Пусть - бесконечно малая при .

7. Теорема о предельном переходе под знаком неравенства. Теорема о сжатой

переменной (формулировка).

1) ТЕОРЕМА: (о предельном переходе в неравенстве.).

Пусть при всех n выполняется неравенство ,и переменныеи имеют пределы:

;

Тогда:, т. е..

Теорема означает, что в неравенстве можно переходить к пределам, сохраняя знак неравенства.

Доказательство: 

Предположим, что 

Выделим вокруг точек истоль малыеE – окрестности, чтобы они не пересекались.

По определению предела, начиная с некоторого номера n, переменные ипопадут в своиE – окрестности предельных точек.

Это означает, что, начиная с некоторого номера n, что противоречит условию. Противоречие доказывает теорему, ч. т. д.

Замечание:

Если при всех n выполняется (строго), то гарантировать строгого неравенства в пределе нельзя (в общем случае), гарантируется лишь нестрогое неравенство.

2) ТЕОРЕМА: (о сжатой переменной).

Пусть, начиная с некоторого , выполняются неравенства, причем крайние переменные имеют одинаковый конечный предел, тогда переменнаятакже имеет предел, причем тот же самый.

8. Теорема о сохранении знака функции. Теорема о связи функции, имеющей

конечный предел, с бесконечно малой.

1) Теорема. (Теорема о сохранении знака непрерывной функции). Если ,, то.

Доказательство. Достаточно доказать, что если , то и. Действительно, взявполучаем по определению непрерывности окрестность.

2) Теорема Для того, чтобы функция имела предел в точкеaравный А, необходимо и достаточно, чтобы имело место представление :, где- бесконечно малая функция в точкеa .

ДОК. (1) Если , то функцияб.м.ф. Действительно,

(2) .