4. Предел функции в точке. Единственность предела.

1)Число называетсяпределом функции в точке , если длятакое, что дляиз того, чтоследует, что:илипри.

2) Теорема о единственности предела

Формулировка:

Если функция в точкеимеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство:

Докажем методом от противного. Предположим, что ,,. Возьмём, по определению и свойству окрестности найдётся такая проколотая-окрестность точки(), в которой одновременно будут выполнятся неравенства,, тогда в точках этой же окрестности. Получили противоречие. Отсюда, функцияв точкеимеет единственный предел.

5. Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых.

1) Функция называетсябесконечно малой функцией (б.м.ф.) при (или в точке), если

2)Теорема 1. Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть – бесконечно малая последовательность. Это означает, что для любого положительного числасуществует такой номерN, что для всех номеров выполняется условие, гдеС – любое действительное число. Тогда <

< , а это и означает, что последовательность– бесконечно малая.

Теорема 2. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть и– бесконечно малые последовательности. Это означает, что для любого числасуществуют такие номераи, что для всех номерови для всех номероввыполняются условияисоответственно. Тогда для всех номероввыполняется условие, а это и означает, что последовательность– бесконечно малая.

Следствие 1. Разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Следствие 2. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 3. Бесконечно малая последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть – бесконечно малая последовательность,ε>0 – некоторое число, а N – номер, начиная с которого выполняется условие . Обозначим черезМ наибольшее из следующих чисел . Очевидно, чтодля любого номераn, а это и означает, что последовательность {} – ограничена.

Теорема 4. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть – ограниченная, а– бесконечно малая последовательности. Это означает, что существует числоМ>0 такое, что для любого номера n выполняется , и для любого числасуществует номерN такой, что для всех номеров выполняется. Тогда для всех номерови любогоε>0 выполняется , а это и означает, что последовательность– бесконечно малая.

Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 5. Если элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числуС, то С=0.

Доказательство. Предположим, что . Длясуществует такой номерN, что для всех номеров выполняется. Так как, а, то последнее неравенство имеет вид, откуда. Полученное противоречие показывает, что предположениеневерно, следовательно,.

Теорема 6. Если – бесконечно большая последовательность то, начиная с некоторого номера n, определена последовательность, которая является бесконечно малой. Если не все элементы бесконечно малой последовательностиравны нулю, то последовательностьбесконечно большая.

Доказательство. Пусть– бесконечно большая последовательность. Это означает, что для любого положительного числаМ можно указать такой номер N, что для всех номеров выполняется. А это означает, что привсе элементы, а поэтому последовательностьимеет смысл с номераN. Пусть - любое положительное число. Для числаможно указать номертакой, что дляnNвыполняется . Это и означает, что– бесконечно малая. Доказательство второй части теоремы проводится аналогично.

Рассмотрим теперь лемму, которая будет использоваться при доказательстве некоторых теорем.

Лемма. Для того чтобы число а являлось пределом последовательности , необходимо и достаточно, чтобыимел вид,n=1,2,…, где есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Обозначим . Условиепо определению предела равносильно тому, что для любого числасуществует такой номерN, что для всех номеров выполняется неравенство, то есть, а это и равносильно тому, что.

Эта лемма показывает особую роль бесконечно малых последовательностей при изучении предела последовательности. Перейдем теперь непосредственно к рассмотрению простейших свойств пределов числовых последовательностей.