26. Интегральная сумма Римана. Определенный интеграл Римана. Интегрируемые функции. Геометрическая интерпретация определенного интеграла.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если функция f(x) задана всюду на отрезке [ a, b ] и задано разбиение Т, то всякая сумма:

называется интегральной суммой Римана функции f.

1) Любая функция, ограниченная и непрерывная в некотором промежутке, является интегрируемой на этом промежутке. К классу интегрируемых функций относятся также функции, ограниченные на промежутке интегрирования и имеющие на этом промежутке конечное число точек разрыва первого рода.

2) Если функция  f(x)  интегрируема на промежутке [a,b], то и функция  c f(x), где  c  – константа, интегрируема на этом промежутке.

3) Если функция  f(x)  интегрируема на промежутке [a,b], то и функция | f(x) | интегрируема на этом промежутке.

4) Если функции  f(x)  и  g(x)  интегрируемы на промежутке [a,b], то и их сумма, разность и произведение интегрируемы на этом промежутке.

5) Если функция  f(x)  интегрируема на промежутке [a,b], то она интегрируема и в любой части этого промежутка.

6) Если функция  f(x)  интегрируема в каждой части некоторого промежутка, то она интегрируема и на всем промежутке.

7) Если значения интегрируемой функции изменить в конечном числе точек на конечные величины, то интегрируемость функции не нарушится.  Применительно к функции  f(x) , которая не определена в конечном числе точек промежутка [a,b], это означает, что ни существование интеграла , ни его величина не зависят от значений, приписанных функцииf(x)  в точках ее разрыва.

 Геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл

представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x) (см. рис. 5.).