Свойства определенного интеграла

Приведем без доказательства некоторые важные свойства определенного интеграла.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

,

где - некоторое число.

2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций (верно для любого числа слагаемых):

Отметим, что названные свойства определенного интеграла аналогичны свойствам неопределенного интеграла.

3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых а, bи с

4. Обе части неравенства можно почленно интегрировать, т.е. если на отрезке [а, b] ( а <b)f(x)g(x), то

Следствие. Пусть на отрезке [а, b], где а <b,mf(x)M, гдеmи М - некоторые константы. Тогда. Это вытекает из того, что, а интегралы от констант вычисляются по формулами.

Т.е. если функция ограничена сверху и снизу некоторыми числами, то интеграл от этой функции ограничен произведениями этих чисел на длину отрезка (промежутка интегрирования).

5. Теорема о среднем. Если функция у =f(х) непрерывна на отрезке [а,b], где а <b, то найдется такое значение[а,b], что.

Геометрически теорема о среднем означает, что на отрезке найдется такая точка, что площадь под кривой у = f(х) на этом отрезке будет равна площади прямоугольника со сторонами у =f() иb–a(см. рисунок 4.5).

Рисунок 4.5 – Теорема о среднем

Интегралом с переменным верхним пределомназывают функцию Ф(х) вида, гдеx[а,b], аf(t) – функция, интегрируемая на отрезке [а,b].

Геометрический смысл интеграла с переменным верхним пределом представлен на рисунке 4.6 (этот интеграл равен площади S(x) под кривой y =f(t) на отрезке [а, х]).

Рисунок 4.6 – Интеграл с переменным верхним пределом

Рассмотрим без доказательства свойства интеграла с переменным верхним пределом:

1. Если функция f(t) непрерывна на отрезке [а,b], то функция Ф(х) также непрерывна на [а,b].

2. Производная от интеграла с переменным верхним пределом по верхнему пределу равна подынтегральной функции:

Формула Ньютона—Лейбница

Теорема. Если функция у =f(х) непрерывна на отрезке [а,b], а функцияF(х) - любая ее первообразная (т.е.F`(х) =f(х)), то определенный интеграл от функцииf(х) на [а,b] равен приращению первообразнойF(х) на этом отрезке, т.е..

Данная формула является основной формулой интегрального исчисления, и ее доказательство основано на свойствах интеграла с переменным верхним пределом.

Докажем ее. В самом деле, поскольку производная от интеграла с переменным верхним пределом по верхнему пределу равна подынтегральной функции, можно сказать, что сам интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для подынтегральной функции.

Так как первообразные одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое, можно утверждать, что найдется такое число С, что F(х) = Ф(х) + С. Тогда приращение первообразной имеет видF(b) –F(a) = (Ф(b) + С) - (Ф(a) + С) = Ф(b) - Ф(a) =

Теорема доказана.

Полученная формула сводит нахождение определенных интегралов к нахождению неопределенных интегралов. При этом приращение первообразной F(b) –F(a) принято обозначать.

Подчеркнем, что при применении формулы Ньютона-Лейбница можно использовать любую первообразную для подынтегральной функции, например, имеющую наиболее простой вид при С = 0 (в дальнейшем не будем записывать константу при нахождении неопределенного интеграла, поскольку будем считать ее равной нулю).

Пример 1. Найти

Пример 2. Найти

Отметим, что при нахождении приращения первообразной общий сомножитель был вынесен за скобки.