- •Производная и дифференциал Понятие производной
- •Геометрический смысл производной
- •Физический и экономический смысл производной
- •Дифференцируемость функции
- •Основные правила дифференцирования
- •Производные основных элементарных функций
- •Производные высших порядков
- •Эластичность функции
- •Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения
- •Экстремумы функции
- •Выпуклость функции
- •Асимптоты графика функции
- •Дифференциал функции
- •Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •Понятие о дифференциалах высших порядков
Производная и дифференциал 1
Понятие производной 1
Геометрический смысл производной 1
Физический и экономический смысл производной 2
Дифференцируемость функции 3
Схема вычисления производной 5
Основные правила дифференцирования 5
Производные основных элементарных функций 6
Производные высших порядков 7
Эластичность функции 8
Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения 9
Экстремумы функции 13
Выпуклость функции 16
Асимптоты графика функции 19
Дифференциал функции 22
Применение дифференциала в приближенных вычислениях 24
Понятие о дифференциалах высших порядков 25
Производная и дифференциал Понятие производной
Пусть функция у = f(x) определена на промежуткеX. Возьмем точку хХ. Дадим значению х приращениех0, тогда функция получит приращениеу =f(x+х) -f(x).
Производнойфункции у =f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):.
Производную также обозначают y' иdy/dx.
Геометрический смысл производной
Чтобы понять геометрический смысл производной, рассмотрим задачу о касательной.
Рассмотрим на плоскости график непрерывной функции у = f(x) (см. рисунок 3.1).
Построим касательную к этой кривой в точке М0(х0, у0). Прежде всего, необходимо определить понятие касательной. Для этого дадим аргументу х0приращениех и перейдем на кривой у =f(x) от точки М0(х0,f(x0)) к точке М1(х0+х,f(х0+х)). Проведем секущую М0М1. Подкасательнойк кривой у =f(x) понимают предельное положение секущей М0М1при приближении точки М1к точке М0, т.е. прих0.
Угловой коэффициент секущей М0М1(тангенс угланаклона этой прямой к оси абсцисс) может быть найден изМ0М1N:. Тогда угловой коэффициент касательной (тангенс угла) равен.
Таким образом, производная функции представляет собой тангенс угла наклона касательной к графику функции к оси абсцисс (угловой коэффициент касательной).
Физический и экономический смысл производной
Рассмотрим прямолинейное движение по закону s=s(t), гдеs- пройденный путь, аt– время. Необходимо найти скорость движенияvв моментt0.
За промежуток времени tс моментаt0будет пройдено расстояниеs=s(t0+t) -s(t0). Тогда средняя скорость за этот промежуток времени составитs/t. Чем меньше будет промежутокt, тем лучше это отношение будет оценивать скорость в момент времениt0:.
Таким образом, производная функции представляет собой скорость изменения значения функции в точке. Этот смысл производной удобно использовать не только в физике, но и в экономике.
Например, если функция p=p(q) выражает зависимость прибылиpот объема произведенной продукцииq, то ее производная показывает предельный рост прибыли (скорость изменения прибыли при изменении объема производства):. Если функцияq=q(u) выражает зависимость объема производстваqот числа работниковu, то ее производная показывает скорость изменения этого объема при изменении числа работников:(предельная производительность дополнительного работника). Если функция описывает зависимость объема производства от времени, то получим производительность в единицу времени. Если функцияw=w(q) выражает зависимость издержек производства от количества выпускаемой продукции, то ее производная означает предельные издержки (приближенно показывает дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции):И т.п.
На основе понятия производной в экономике рассчитываются предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность, предельная производительность и другие предельные величины.
Предельные величины характеризуют процесс изменения экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) во времени или относительного другого исследуемого фактора.