Определенный интеграл Понятие определенного интеграла

Пусть на отрезке [а, b] задана неотрицательная функция у =f(x). Требуется найти площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой у =f(x), прямыми х = а, х =bи осью абсциссy= 0 (рисунок 4.1).

Для этого введем в рассмотрение ломаную линию, которая расположена достаточно близко к кривой у = f(x) на [а, b] (рисунок 4.2). Фигура под ломаной состоит из трапеций. Ее площадь S_ломравна сумме площадей этих трапеций, и ее можно вычислить по формулам, известным из школьного курса планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой у =f(x), справедливо приближенное равенство SS_лом. Оно тем точнее, чем ближе расположена ломаная к исходной кривой. Искомую площадь S можно рассматривать, как предел площади S_ломпри неограниченном приближении ломаной к заданной кривой.

Рисунок 4.1 – Площадь криволинейной трапеции

Рисунок 4.2 – Площадь под ломаной

Рассмотрим более подробно процедуру выбора ломаной. Разобьем отрезок [а, b], на котором определена некоторая функция у =f(x), наnотрезков точками х₀,x₁,x₂, …x_n:a=x₀<x₁<x₂< …<x_n=b. На каждом отрезке [x_i-1;x_i] (x_i=x_i-1-x_i) выберем некоторую точку_i(«кси»). Сумма виданазываетсяинтегральной суммойдля функции у = f(x) на отрезке [а,b].

Для неотрицательной функции у = f(x) каждое слагаемое в этой сумме равно площади S_iпрямоугольника со сторонамиf(_i) иx_i(это площадь под прямой у =f(_i) на отрезке [x_i-1;x_i]) (рисунок 4.3). Поэтому вся интегральная сумма равна площади(это площадь под ломаной, образованной на каждом из отрезков [x_i-1;x_i] прямой у =f(_i), параллельной оси абсцисс).

Рисунок 4.3 – Интегральная сумма

Наибольшую из длин отрезков [x_i-1;x_i] обозначим. Отметим, что при стремлениик нулю ломаная неограниченно приближается к исходной кривой, и площадь под ломаной переходит в площадь криволинейной трапеции.

Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точекx_i и_i. Тогда этот предел называетсяопределенным интеграломот функции у = f(x) на [а,b] и обозначается, а сама функция называется интегрируемой на отрезке [а,b], т.е..

При этом число а называется нижним пределомопределенного интеграла, число b - еговерхним пределом; функция f(x) — подынтегральной функцией, выражение f(x)dx - подынтегральным выражением, а задача о нахождении- интегрированием функции f(x) на отрезке [а,b].

Подчеркнем, что определенный и неопределенный интегралы существенно различаются между собой. Если неопределенный интеграл представляет семейство функций, то определенный - есть определенное число.

Отметим, что если подынтегральная функция представляет собой константу, т.е. f(x) =C, то интегральная сумма примет вид, т.е. будет представлять собой константу. Поэтому предел этой суммы тоже будет равен этой константе.

На рисунке 4.4 видно, что эта величина равна площади прямоугольника под графиком функции f(x) =C.

Рисунок 4.4 – Интеграл от константы равен площади прямоугольника

Во введенном определении определенного интеграла предполагается, что а <b. По определению положим.

Это позволят считать несущественным, какой из пределов интегрирования больше: верхний или нижний.

Если пределы интегрирования равны друг другу (а = b), то изполучим

.

Теорема(достаточное условие существования определенного интеграла (интегрируемости функции)). Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.