3. Метод интегрирования по частям

Пусть u=u(х) и v = v(x) - дифференцируемые функции. По свойству дифференциалаd(uv) =vdu+udv;

udv=d(uv) –vdu

Интегрируя левую и правую части последнего равенства, получим

 udv=uv-vdu

Выведенная формула называется формулой интегрирования по частямдля неопределенного интеграла. При ее применении в подынтегральном выражении в левой части выделяют два сомножителя -uи dv. При переходе к правой части первый сомножительuдифференцируется (при нахожденииdu= u'dx), а второй интегрируется (v =dv + С). Формулу применяют, если дифференцирование существенно упрощает один из сомножителей (при условии, что интегрирование не слишком усложняет другой).

Пример 1.Например, найдемxe^-2xdx. Так как х' = 1, а функцияe^-2xпри интегрировании практически не изменится (по теореме о линейной подстановке появится лишь постоянный множитель -1/2), то данный интеграл можно найти интегрированием по частям, полагаяu= х, dv =e^-2xdx. Найдем v и du:

du = dx

v=dv=e^-2xdx= (- ½)e^-2x+C

Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

 xe^-2xdx= х ((- ½)e^-2x+C) -((- ½)e^-2x+C)dx

Для нахождения интеграла в правой части применим метод разложения:

 xe^-2xdx= (- ½)e^-2xх +Cx- (1/4)e^-2x-Cx+C₁= (- ½)e^-2xх - (1/4)e^-2x+C₁

Замечание. Анализ полученного решения показывает, что постоянная С, возникшая при нахождении v (по заданному dv), не входит в запись окончательного ответа. Можно показать, что и в общем случае постоянная С, возникающая при нахождении v, исключается в процессе решения. Поэтому в дальнейшем, применяя формулу интегрирования по частям и найдя v, будем пренебрегать С для упрощения записи решения.

Пример 2.Найдем.

Пример 3.Найдем

Здесь представлят сложность присутствие логарифма в записи подынтегральной функции. Ее устраняют интегрированием по частям, полагая u = ln х. Тогда dv = x dx (отметим, что при интегрировании функции х получается функция того же типа, т.е. степенная).

Получим

Пример 4.Найдем.

Рассмотрим пример, в котором формулу интегрирования по частям приходится применять более одного раза.

Пример 5.Найдем

Полученный в результате преобразований интеграл не является табличным, но по сравнению с исходным интегралом степень переменной х в подынтегральном выражении уменышилась на единицу (при этом второй сомножитель cos х того же типа, что и в исходном интеграле). Повторим применение формулы интегрирования по частям (при этом мы избавимся от х и получим табличный интеграл). Положим теперь

Можно указать следующие основные типы интегралов (но не все), для нахождения которых используется формула интегрирования по частям:

Для нахождения интегралов из первой группы формулу интегрирования по частям применяют nраз. При первом применении полагаютu=xⁿ, а остальные сомножители подынтегрального выражения задают dv. Процедуру повторяют, пока степень еременной х не станет равной нулю, а сам интеграл — табличным (см. примеры 1, 2 и 5).

Для нахождения интегралов второй группы полагают x^kdx = dv. Оставшиеся сомножители подынтегрального выражения задаютu. При этом если в подынтегральном выражении присутствуетn-тая степень логарифма, формулу интегрирования по частям придется применитьnраз. После каждого применения эта степень уменьшается на единицу, пока не станет равной нулю, а сам интеграл - табличным.

Метод интегрирования по частям часто комбинируют с другими методами и приемами интегрирования.

Пример 6.Найдем

Выполним сначала замену переменной t= 2x + 3.

Пример 7.Найдем.

Пусть u=cos3x,dv=e^2xdx. Тогдаdu= -3sin3xdx,v= ½e^2x.

Искомый интеграл обозначим J(«йот»).

Ко второму слагаемому применим интегрирование по частям еще раз, обозначив u=sin3x, аdvтакой же (dv=e^2xdx). Тогдаdu= 3cod3xdxи по-прежнемуv= ½e^2x.

Выразим из полученного уравнения J:

Рассмотренными выше методами далеко не исчерпываются все разработанные методы интегрирования функций. Тем не менее, на их основании можно наметить общий подход к интегрированию функций различных видов.