Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ДискретнаяМатематика_Тышкевич_АИ / lect / minspan.ppt

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

1.29 Mб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Минимальный остов

Постановка задачи

Исходные данные:

Связный граф с разметкой ребер весами

Цель:

Связный подграф с минимальной суммой весов ребер, включающий ВСЕ вершины исходного

Подграф:	V V	& E E
Задача:	min	w(e)
	E E&
		e E
	V V	e E

G(V , E) & V V w RE

V V V V

Связность: ˆ V

Смежность:

{(x, y) |{x, y} E}

V , E минимальный остов V , E

Другие названия

Кратчайший остов (остовной подграф) Минимальное остовное дерево.

Минимальная (кратчайшая) связывающая сеть (КСС) англ: Shortest connection network – Prim R.C

Кратчайшее соединяющее (связующее) поддерево англ: Shortest Spanning Subtree – Kruskal J.B., Jr

SST	(Shortest Skeleton Tree)

Примеры:

Коммуникации, транспорт.

Пример КСС (Из «Кратчайшие связывающие сети и некоторые обобщения» - Р.К. Прим. // Кибернетический сборник №2. М: Издательство иностранной литературы, 1960)

e E w(e) 0 в V , E нет циклов

w( ≤ w(

Связный граф без циклов – дерево

Минимальный остов – дерево (если e E w(e)≥0)

Принципы, лежащие в основе алгоритма построения минимального остова.

	Начальное условие:	V ,
	множество изолированных	V ,
	множество изолированных
	вершин

Фрагмент – связный подграф V′,E′ (поддерево) на этапе построения

E′ – ребра фрагмента.

′ – связность фрагмента.

Начальный фрагмент – любая одиночная вершина

V V & V V

V {v} v V

Весовое расстояние между фрагментом и внешней вершиной

v V \V	d( V , E	, v) min w({v, v })
		v V
		v V

Принцип 1: Любая вершина соединяется с ближайшей (по весу ребра)
смежной с ней вершиной в минимальном остове V,Emin .
v V	& v V	& ( v V	w(v, v ) w(v, v ))	{v, v } Emin

Принцип 2: Любой изолированный фрагмент соединяется с ближайшей (по весовому расстоянию) к фрагменту вершиной минимальным по весу ребром.

Шаг алгоритма (алгоритм Прима): V′,E′ V′′,E′′

(v V \V

: v V \V

d( V , E

, v ) d( V , E

, v))

: v V

(v V

w({v , v }) w({v, v }))

(V V {v }

& E E {v , v })

Т.е.: Выбрать ближайшую (по весовому расстоянию) к фрагменту вершину и соединить ее с фрагментом минимальным по весу ребром.

Шаги выполняются, пока фрагмент не покроет все вершины графа.

Использование матричной (табличной) записи для реализации алгоритма Прима.

V {v1, v2 , vn}

Матрица весов ребер (как в алгоритмах поиска маршрута)

		W	w({v , v		})
		W		i j
		ij	0
	2		6	3
	3		1	4
			1
1			4		5
		2	2
			2

		5	4		6
8		5			6
8
7			3
7

,{vi , vj } E ,{vi , vj } E

0		3	0	0	2	0	8
	3	0	6	1	0	0	0
		6	0	4	0	5
0							0
					2	0
W 0 1 4 0							0
	2	0	0	2	0	4	0
		0	5	0	4	0
0							3
		0	0	0	0	3
8							0

						min				Фрагменту
						min							6	3
0 3 0 0					2	0	8	*				2	6	3
	3	0	6	1	0	0	0		2=min({3,2,8}) 3				1
									2=min({3,2,8}) 3					4

	0	6	0	4	0	5	0				1		4
	0	1	4	0	2	0	0				1	2	2	5
	0	1	4	0	2	0	0					2
	2	0	0	2	0	4	0						4
	0	0	5	0	4	0	3				8	5		6
	0	0	5	0	4	0	3				8
	8	0	0	0	0	3	0						3
											7		3
U											7	2	6	3
Удаляем столбец из												3	1
		рассмотрения			Добавляем вершину								1	4
		рассмотрения
													4
					5 к фрагменту и						1		4	5
					5 к фрагменту и						1		2	5
					удаляем столбец							2	4
												5	4		6
											8	5			6
											8
											7		3
											7

			3	0	0		0	8
			0	6	1		0	0
			0	6	1		0	0
			6	0	4		5	0
			6	0	4		5	0
			1	4	0		0	0
			1	4	0		0	0
			0	0	(2)		4	0
			0	5	0		0	3
			0	5	0		0	3
			0	0	0		3	0

		1	2	3	4	5	6	7
			2		6			3
	3			1		4
				1	4
1				2	4			5
		2


		5			4			6
8		5						6
8
7				3
7

	3	0
	0	6
	0	6
	6	0
	6	0
	1	4
	1	4
	0	0
	0	5
	0	5
	0	0

1	2	3	4

	3		1	4
			1
1			4
1		2	2
		2
			4

0	8	*

0	0
0	0
5	0
5	0
0	0
0	0	*
4	0	*
0	3
0	3
3	0
5 6	7
5 6	7

5 2 5 42

	3	0			0	8		*
	0	6			0	0
	0	6			0	0
	6	0			5	0
	6	0			5	0
	(1)	4			0	0
	(1)	4			0	0		*
	0	0			4	0		*
	0	5			0	3
	0	5			0	3
	0	0			3	0

1	2	3	4	5	6	7
	2			6			3
3		1			4
		1		4
1		2		4			5
	2


	5			4			6
8	5						6
8
7			3
7

		0			0	8	*

		6			0	0	*
		0			5	0
		0			5	0
		4			0	0
		4			0	0	*
		0			4	0	*
		5			0	3
		5			0	3
		0			3	0

1	2	3	4	5	6	7

	2		6		3		1
	3		1				1
	3			4			2
						5
1			4		5	5
		2	2			2
			2			2
						4
			4			4
		5	4		6	1
8		5			6	1
8						2
						2
7			3
7

		0			0	8	*

		6			0	0	*
		0			5	0
		0			5	0
		(4)			0	0
		(4)			0	0	*
		0			4	0	*
		5			0	3
		5			0	3
		0			3	0

1	2	3	4	5	6	7

	2		6	3
	3		1	4
			1
			4
1		2	2	5
1			2	5

		5	4		6
8		5			6
8
7			3
7

								0	8	*
								0	0	*
								5	0
								5	0	*
								0	0
								0	0	*
								4	0	*
								0	3
								0	3
								3	0

			1	2	3	4	5	6	7
	2				6			3				1
	3		1		4	4					5	2
1			2		4	4		5			2
		2								4


		5			4			6	2	1	4
8		5						6	2		3
8											3
7				3
7

					0	8	*

					0	0	*
					5	0
					5	0	*
					0	0
					0	0	*
					(4)	0	*
					0	3
					0	3
					3	0

1	2	3	4	5	6	7

	2		6	3
	3		1	4
			1
			4
1		2	2	5
1			2	5

		5	4		6
8		5			6
8
7			3
7

1 2 3 4 5 6

	2		6	3
	3		1	4
			1
			4
1		2	2	5
1			2	5

		5	4		6
8		5			6	2
8
7			3
7

8 *

0 *

3 *

5 2

4	6
1	4
	3

						8	*

						0	*
						0
						0	*
						0
						0	*
						0	*

						(3) *
						0
2	3		4	5	6	7
2	3		4	5	6	7
	2			6		3
		1		4	4
	2			4	4		5
2							5

5 6

				0	3	0	0	2		0	8	*

				3	0	6	1	0		0	0	*
				0	6	0	4	0		5	0
				0	6	0	4	0		5	0	*
				0	1	4	0	2		0	0
				0	1	4	0	2		0	0	*
				2	0	0	2	0		4	0	*
				0	0	5	0	4		0	3
				0	0	5	0	4		0	3	*
				8	0	0	0	0		3	0	*

			U		U	U	U		U	U	U
	2				6			3				1
	3			1								1
	3					4						2
					4						5
1					4			5			5
		2		2							2	4
				2							2	4
											4	6
					4						4	6
		5			4			6		1
8		5						6		1	4	3
8										2	3	7
										2
					3
7					3
7									w=2+2+1+4+4+3=16
									w=2+2+1+4+4+3=16