Моноиды
Бинарные
алгебры
Ассоциативные |
Не ассоциативные |
|
|
(полугруппы) |
|
?? ??
e A x A |
e A x A |
e x=x e=x |
e x=x e=x |
(моноиды) |
|
|
|
|
|
Примеры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
& |
|
0 |
1 |
|
|
|
0 |
1 |
|
Композиция одноместных операций |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
|
|
x |
|
f1(x) |
f2 (x) |
f3 (x) |
f4 (x) |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
0 |
1 |
|
1 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
||||||||||
|
e=1 |
|
|
|
e=0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A { f1, f2 , f3 , f4} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x ( f4 |
f3 )(x) f3 ( f4 (x)) f3 (1) 0 f4 |
f3 f1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A, : |
|
|
|
f1 |
f2 |
f3 |
f4 |
|
B {1,2,3,4} |
|
|
1 2 3 4 |
||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
f1 |
|
f1 |
f1 |
f4 |
f4 |
|
1 |
|
1 |
1 |
4 |
4 |
||||
|
|
f2 |
|
f1 |
f2 |
f3 |
f4 |
A, ~ |
B, |
2 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|||
|
|
f3 |
|
f1 |
f3 |
f2 |
f4 |
3 |
|
1 3 2 4 |
||||||||
|
|
f4 |
|
f1 |
f4 |
f1 |
f4 |
|
|
4 |
|
1 |
4 |
1 |
4 |
|||
|
|
|
|
e=f2 |
|
|
|
|
|
|
e=2 |
|
|
|
|
|
|
|
Потребность в обратимых операциях
Уравнение |
a |
|
a x=b |
|||
|
||||||
a x=b |
x |
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
x=? |
|
a |
|
|
|
x=? |
|
|
|
||||||
|
? |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример |
|
b |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
«Симметричное» шифрование |
|
|
|
Ключ |
|
|
|
|
|||||||
Ключ |
|
Шифрограмма |
|
|
Текст |
||||||||||
|
|
? |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Текст |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как обращать операцию?
|
x |
x |
a |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
b |
|||
|
|
|||||
Решение единственное?
Решение есть?
Еще способы: Сократимость
Назовём элемент а сократимым слева, если для него имеет место следующее свойство:
a x=a y x=y
(a x=a y x=y ) (x y a x a y)
свойство
x a = y a x=y
для элемента a называется сократимостью справа.
Аналогично
(x a = y a x=y)
(x y x a y a)
Обратимость элементов.
Левые, правые и двусторонние обратные элементы.
Пусть x y=e
Элемент x называется левым обратным для элемента y, а элемент y – правым обратным для элемента x. При этом элемент y называется обратимым слева, а элемент x – обратимым справа
x – обратим слева |
y y x=e |
x – обратим справа |
y x y=e |
x – двусторонне обратим ( y y x=e) & ( y x y=e)
y – двусторонне-обратный для x y x=x y=e
Решение уравнений через обратимость в ассоциативных алгебрах
Уравнение a x=b |
элемент a обратим слева |
|
y y a=e |
Из обратимости слева следует сократимость слева
b a=e & a x=a y b (a x)= b (a y) (b a) x= (b a) y e x=e y x=y
Справедливо и аналогичное свойство в правой форме a b=e & x a = y a x=y
(в ассоциативных алгебрах !!!)
Формальные степени элементов
Рекуррентная формула (определение функции следования):
a1=a ak+1=ak a
Множество всех значений степени элемента a
Ba ={ x | k x=ak }
При этом
aj=ai+k=ai ak
ai=ai ak
Связь между сократимостью и обратимостью в конечном моноиде
sa(x)=x a