Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ДискретнаяМатематика_Тышкевич_АИ / lect / 2op.ppt

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

503.3 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Примеры конечного недвоичного поля

Алгебра сложения и умножения классов вычетов по модулю простого числа Простое число p : нет собственных делителей.

p mn (m p & n 1) (m 1& n p)

ab kp a a1a2 & b b1b2 & k a1b1 & p a2b2 & ai a & bi b

1 a p	& 1 b p		ab kp		ab 0 mod p

Ненулевые классы вычетов по модулю простого числа замкнуты по умножению.

										0	1	2	3	4	mod 5	0	1	2	3	4
			mod 3





	0	1	2		0	1	2		0	0	1	2	3	4	0	0	0	0	0	0





								1		1	2	3	4	0	1	0	1	2	3	4


0	0	1	2	0	0	0	0

								2		2	3	4	0	1	2	0	2	4	1	3


1	1	2	0	1	0	1	2

								3		3	4	0	1	2	3	0	3	1	4	2



2	2	0	1	2	0	2	1


								4		4	0	1	2	3	4	0	4	3	2	1

Продолжение примеров: поля простого порядка – обе группы (+,·) - циклические

	0	1	2
	0	1	2

0	0	1	2
1	1	2	0
2	2	0	1

0 0

1 2

2 1

(1)1 1

(2)1 2

(3)1 0

		0	1	2					0	1	2	3	4
		0	1	2					0	1	2	3	4

						0			0	1	2	3	4
0		0	0	0		0			0	1	2	3	4
1		0	1	2	1				1	2	3	4	0
2		0	2	1	2				2	3	4	0	1
					3				3	4	0	1	2
	1 1 1				4			4 0 1 2 3
	1 1 1				4			4 0 1 2 3
	2 1 2						0		0		(1) *1 1
							0		0		(1) *1 1
					1 4						(2) *1 2
	21 2				2				3		(3) *1 3
	22		1		3				2		(4) *1 4
	22		1				4		1		(5) *1 0
							4		1		(5) *1 0

	0	1	2	3	4




0	0	0	0	0	0




1	0	1	2	3	4



2	0		4	1	3

		2



3	0	3	1	4	2





4	0	4	3	2	1

1 1	1	21 2
2 1	3	22	4
3 1 2		23	3
4 1	4	24	1

Элементы, кратные 1 в конечном поле

+1	(1) 1=1	B1 {y \| k y (k) 1}
+1	+1
(p) 1=	(2) 1=		B1	p
	(2) 1=
	(1) 1+1=
(p-1) 1+1=	(1) 1+1=
(p-1) 1+1=	1+1
0	1+1
0		B1, ~ Zp ,
+1	+1	B1, ~ Zp ,
+1

(p-1) 1=

(3) 1=

(p-2) 1+1=

(2) 1+1=

–1

1+1+1

p min k

(k ) 1 0

Характеристика поля

p min k

x A*

min k p

(k ) 1 0

(k ) x 0

(k) x x x x (x 1) (x 1) (x 1)

x (1 1 1) x ((k) 1)

(x 0

( (k) x 0 (k) 1 0) )

x 0

Число p –характеристика конечного поля

Число p –характеристика конечного поля – простое число

B1	p	p min k

		(k ) 1 0

p mn (m p & n 1) (m 1& n p)

pmn ( p) 1 1 1 1

p mn

(1 1 1) (1 1 1) (1 1 1)

m m m
	n

(1	1 1) 1 (1 1 1) 1 (1 1 1) 1

m m m
		n
(1 1 1) (1 1 1) ((m) 1) ((n) 1) 0

	m	n
	((m) 1) 0 ((n) 1) 0		(m p & n p)

Подполе элементов кратных 1 – поле простого порядка

В1 замкнуто по + и по · B1, , ~ Z p , ,

((m) 1) ((n) 1) (m n) 1 B1

((m) 1) ((n) 1) (mn) 1	B1
Обозначим, как в любой конечной группе	(0) 1 0

((m) 1) ((n) 1) ((m n) mod p) 1 ((m) 1) ((n) 1) (mn mod p) 1

В любом конечном поле содержится подполе, изоморфное сложению и умножению классов вычетов по модулю его характеристики – простого числа.

Векторное представление элементов конечных полей

B, , подполе поля

A, ,

A, , расширение

B, ,

B A

(x y B) & (x y B) & ( x B) & (x 1 B)

x B y B

0 B &

1 B

Пример: подполе элементов, кратных 1:

B1, ,

Разложение конечного поля

A, , по подполю

B, ,

Последовательность множеств:

A1 A2 A3 Am A

x A*

Начальные условия:

x 0

A {a x | a B}

0 B 0 A1

a B

f (a ) a x

1 B x A

f1 – инъективная функция

Условия окончания построения последовательности:

A1 A2 A3 Am A

A1 A Все

Иначе строим следующее множество

x2 A \ A1 A2 {(a1 x1 ) (a2 x2 ) | a1 B & a2 B}

0 B a1 B & a2 0 : A1 A2

a1 0 & a2 1: x2 A2 & x2 A1 x A2 \ A1

A2 A1

Проверяем условие окончания	A2 A Все
построения последовательности	A2 A Все
Иначе строим следующее множество
x3 A \ A2

A3 {(a1 x1 ) (a2 x2 ) (a3 x3 ) | a1 B & a2 B & a3 B}

x3 A \ A2

A3 {(a1 x1 ) (a2 x2 ) (a3 x3 ) | a1 B & a2 B & a3 B}

Аналогично:

0 B a1 B & a2 B & a3 0 : A2 A3 a1 0 & a2 0 & a3 1:

x3 A3 & x3 A2 x A3 \ A2

A1 A2 A3 :

Как выглядит последний шаг m для конечного поля?

A1 A2 A3

Am A :

...

Am ai xi

i ai B

i 1

Последовательность

X (x1

, x2 , , xm )

x1 A \{0}, x2

A \ A1

xm A \ Am 1

Свойство (для данного построения последовательности):

ai xi 0 i ai 0

i 1

ai xi

0 i ai

i 1

m 1

ai xi 0 am xm ai xi 0

i 1

m 1

am 0 xm

( am1 ) ai

(( am1 ) ai ) xi Am 1

i 1

am 0

x A \{0},

A \ A ,

A \ A

m 1

m 2

am 1 0 xm 1

( am1 1 )

ai xi

(( am1 1 ) ai ) xi Am 2

i 1

am 1 0

построениюПо

a1 x1 0 a1 0

i ai 0

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке lect

#
21.03.2016503.3 Кб362op.ppt
#
21.03.2016718.34 Кб36algebra.ppt
#
21.03.20161.17 Mб39base.ppt
#
21.03.2016217.09 Кб35gr.ppt
#
21.03.20162.79 Mб135LectDM.doc
#
21.03.20161.29 Mб37minspan.ppt