Уравнение движения в этом случае можно записать в виде

(8.19)

Линеаризуем это уравнение. При этом, учитывая одномерный характер изменения всех величин и то, что в одномерном случае , получим:

.

Теперь подставим в уравнение движения все величины в виде сумм статических и переменных составляющих и получим

(8.20)

Если в равенстве (8.20) приравнять нулю производные по времени и по z от постоянных величин, пренебречь произведением двух малых величин - переменной скорости и производной от переменной скорости по z, а также учесть, что отлична от нуля только переменная составляющая электрического поля, получим линеаризованное уравнение движения

. (8.21)

Далее для определения переменной составляющей электрического поля воспользуемся уравнением непрерывности и уравнением полного тока.

Из уравнения непрерывности (8.15), учитывая, что в одномерном случае

, получаем

(8.22)

Если учесть теперь равенство нулю производных от постоянных величин, получаем окончательно линеаризованное уравнение непрерывности

. (8.23)

Если вспомнить, что плотность конвекционного тока определяется равенством

, то, разделив переменные и постоянные величины и пренебрегая произведением переменных составляющих плотности пространственного заряда и скорости, получаем выражение для переменной составляющей плотности тока

. (8.24)

Из уравнений (8.21) и (8.23) с учетом уравнения (8.24) можно теперь получить уравнение, связывающее переменные величиныи:

. (8.25)

Процедура такова:

Из уравнения (8.24) определяем переменную составляющую скорости . Далее дифференцируем выражение дляпоt. В последнее уравнение подставляем выражение для из уравнения непрерывности (8.23) и получаем выражение для через . Дифференцируем уравнение движения по t и подставляем в него выражение для через . В результате получаем уравнение (8.25), т.е. связь с.

********************************************************************

Теперь получим линеаризованное уравнение полного тока для определения связи переменных составляющих плотности тока и электрического поля. В одномерном случае и для бесконечно протяженного электронного потока

(8.26)

Здесь мы учли, что для “разомкнутого” потока rotH=0 и что =1, так как рассматриваем явления в вакууме. Подставив в (8.26)

и , получаемлинеаризованное уравнение полного тока

. (8.27)

Подставив из (8.27) в (8.25), получаемуравнение для определения изменений во времени и вдоль оси z переменной составляющей плотности тока

. (8.28)

Решение линейного дифференциального уравнения в частных производных ищем в форме плоской волны

(8.29)

В результате подстановки получаем искомую связь между частотой и постоянной распространения:

. (8.30)

Это и есть дисперсионное уравнение для рассматриваемой системы.

Решая алгебраическое уравнение (8.30), получаем:

, (8.31)

где использовано обычное выражение для плазменной частоты

. (8.32)

Обратим внимание на то, что в рассматриваемой однородной системе нет мнимых решений для  и k. Поэтому волны пространственного заряда с постоянными распространения k_1,2, будучи однажды возбужденными, не меняют свою амплитуду. Запомним на будущее, что это свойство любых однородных систем. В следующей лекции мы рассмотрим очень коротко основные типы неоднородностей в электронных потоках, которые ведут к развитию неустойчивостей, т.е. нарастающих волновых процессов. Однако, мы не будем составлять в этих случаях дисперсионных уравнений, так как такая процедура для неоднородных систем трудна и требует слишком много времени.

Из решения дисперсионного уравнения (8.30) следует, что все переменные величины (скорости, плотности пространственного заряда и плотности тока) описываются двумя волнами пространственного заряда с фазовыми скоростями

. (8.33)

Принято называть волну с фазовой скоростью больше V_o (минус в знаменателе) быстрой волной пространственного заряда, а волну с фазовой скоростью меньше V_o (+ в знаменателе) медленной волной пространственного заряда. В электронном потоке обязательно при возбуждении возникают одновременно обе волны пространственного заряда.

Следует, видимо, сказать пару слов о том, как может произойти возбуждение волн пространственного заряда.

Возбуждение волн может быть произведено, например, как в клистроне. Для этого мы должны произвести на входе в поток модуляцию электронов по скорости. В принципе, это подразумевает наличие входа, а значит существование неоднородности в потоке. Но для собственного спокойствия будем считать, что вход находится где-то далеко, а на рассматриваемом участке все однородно. Итак, на входе

, а . (8.34)

Две волны пространственного заряда от входа начинают движение “вниз по потоку” в фазе, но из-за накопления сдвига фаз (из-за разных фазовых скоростей у быстрой и медленной волн пространственного заряда) устанавливается стоячая волна с периодичностью

. (8.35)

В каждой точке потока переменные составляющие скорости и плотности тока меняются синусоидально во времени.

Волны пространственного заряда связаны с образованием и движением сгущений и разряжений электронного потока, с движением сгустков пространственного заряда. Теоретический анализ, выполненный в книжке В.Н. Шевчика и др., свидетельствует, что для быстрой волны пространственного заряда максимум плотности переменной составляющей пространственного заряда находится в фазе с максимумом переменной скорости. Для медленной волны пространственного заряда максимумсовпадает с минимумом(эти две величины меняются в противофазе). Таким образом, при возбуждении быстрой волны в ней преобладают ускоренные электроны, а при возбуждении медленной - замедленные. Т.е. энергия, переносимая пучком с быстрой волной, больше, чем без волны, а энергия, переносимая пучком с медленной волной, меньше, чем без волны.

Воспользовавшись той терминологией, которую мы вводили раньше при описании волн с положительной и с отрицательной энергией, можно, видимо, сказать, что быстрая волна пространственного заряда - волна с положительной энергией, а медленная волна - волна с отрицательной энергией.Действительно, создание быстрой волны требует вложения СВЧ энергии. Медленная же волна может возбудиться при отборе СВЧ энергии.