8.3. Метод дисперсионного уравнения для описания волновых процессов в линейных системах.

При описании волновых процессов в электронных потоках изменения всех величин в одномерном случае будем представлять, как и ранее, в виде .

Дисперсионное уравнение определяет связь частоты с постоянной распространения. Решение этого уравнения позволяет выявить развитие неустойчивостей. Признак развития неустойчивости – мнимость частоты (или постоянной распространения) в условиях, когда другая величина действительна. Для составления дисперсионного уравнения пользуются уравнениями, описывающими распределение полей, воздействующих на движение электронов, и уравнениями движения.

В нерелятивистском случае будем считать, что на движение электронов оказывает воздействие только ВЧ электрическое поле, а влияние ВЧ магнитного поля пренебрежимо мало. При этом будем учитывать только потенциальную часть электрического поля и пренебрегать вихревыми его составляющими, связанными с изменением во времени магнитного поля. Поэтому из уравнений Максвелла воспользуемся уравнением полного тока

(8.13)

и уравнением Пуассона

. (8.14)

Эту пару уравнений можно дополнить уравнением непрерывности

. (8.15)

Уравнение непрерывности следует из уравнений (8.13) и (8.14) и поэтому не является самостоятельным. Распределение поля, связанного с токами и зарядами, однозначно определяется любой парой из последних трех уравнений. Если электронный поток имеет бесконечную протяженность, в уравнении (8.13) . Поэтому изменения конвекционного токапроисходят за счет тока смещения и наоборот.

Уравнение движения для электрона может быть записано следующим образом:

, (8.16)

так как в уравнение для Лоренцевой силы входит магнитная индукция и=1.

В уравнении (8.16) полная производная от скорости определяется выражением

, (8.17)

так как изменение скорости может происходить не только во времени, но и в пространстве. По Н.Е. Кочину (Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, Наука, 427 с.) второй член в правой части уравнения (8.17) нужно понимать, как произведение скалярного оператора (в круглых скобках) на вектор скорости.

Если поток моноскоростной, уравнение движения будет одинаковым для всех электронов. Мы будем рассматривать на данном этапе только моноскоростной поток. Для немоноскоростного потока надо было бы учитывать еще распределение электронов по скоростям.

Составление дисперсионного уравнения и его решение упрощается в случае малых переменных сигналов.В этом случае можно все величины, входящие в уравнения, представить в виде суммы статической и переменной составляющих

(8.18)

Учитывая, что переменные составляющие на ранней стадии развития колебаний много меньше по величине, чем статические, можно пренебречь в уравнениях произведениями двух и более малых величин. Такая процедура называется линеаризацией. Процедура линеаризации ведет к тому, что в уравнениях Максвелла связи между полями и токами, полями и плотностью пространственного заряда становятся линейными.

Рассмотрим пример составления и решения дисперсионного уравнения. Простейший вариант: бесконечно протяженный во всех направлениях и однородный электронный поток в отсутствие магнитного поля. Все электроны имеют одинаковую скорость (моноскоростной поток) и двигаются в одном направлении z. В таком потоке отсутствует не только магнитное, но и

статическое электрическое поле, а статические величины ,ине меняются в пространстве. Определим, что будет происходить в такой системе, если в качестве начального возмущения ввести малые переменные электрические поля , ориентированные тоже вдоль осиz.