10.2. Закон степени 3/2 и понятие первеанса.

Прежде чем переходить непосредственно к описанию характеристик электронных потоков, вспомним полезные соотношения между плотностью тока с катода j_к и напряжением U между катодом и анодом в диодах разной конфигурации, которые работают в режиме ограничения тока пространственным зарядом.

Для любых диодов в режиме ограничения тока пространственным зарядом величина j_к пропорциональна напряжению U в степеним 3/2. Для плоского диодного зазора шириной d эта связь имеет вид

. (11.2)

На практике для характеристики протекания токов в диодных зазорах часто используют понятие первеанса

, (11.3)

где I_к - ток катода.

Значения первеанса сильно меняются от расстояния между катодом и анодом и площади катода. В маломощных системах типа осциллографа первеанс может иметь величину порядка 10^-9 А/В^3/2. В мощных же СВЧ приборах эта величина достигает значений (10^-5 -10^-6 ) А/В^3/2. Поэтому для таких устройств чаще пользуются значением микропервеанса

, (11.4)

который имеет значения порядка 1-10 для мощных приборов.

Приведенные соотношения позволяют оценить напряжения, необходимые для получения требуемых токов пучка.

10.3. Поля пространственного заряда электронных пучков.

В СВЧ электронике используются три основных типа электронных пучков: ленточные, сплошные по сечению цилиндрические и пучки кольцевого сечения. Оценим поля пространственного заряда для двух первых типов пучков. Начнем с ленточного пучка. Воспользуемся изображением ленточного пучка на рис.11.1.

Рис.11.1.

Предположим, что пучок имеет достаточно большую протяженность в направлениях z и y. Поэтому можно пренебречь действием краевых полей во всяком случае в центральной по оси y части пучка. Тогда вблизи центра пучка составляющие электрического поля Еz=Еy=0, а Еx0. Пусть пучок имеет толщину x. Выберем положение начала координат посредине тонкой стенки

поперечного его сечения. Выделим в пучке объем, имеющий толщину 2x и площадь поверхности S в плоскости xz (см. рис.11.1). В этом выделенном объеме величина x  x /2. По теореме Гаусса

, (11.5)

Здесь в левой части равенства поток нормальной составляющей электрического поля Е_n через всю поверхность выделенного объема, а в правой части - интеграл от пространственного заряда в этом объеме. Предположим, что пучок однороден по сечению и имеет плотность . Тогда, учитывая равенство нулю всех составляющих поля, кроме x-й, получаем:

и .

Отсюда следует, что в пределах пучка

, (11.6)

т.е. x-ая составляющая электрического поля равна нулю в центре пучка и линейно увеличивается с ростом x вплоть до его границы x_п. Дальше поле не меняется с расстоянием (рис.11.2), так как вне пучка отсутствует пространственный заряд, а линии электрического поля вне пучка не расходятся (параллельны оси x).

Полезно иметь выражение электрического поля через плотность тока пучка. Учитывая, что в моноскоростном пучке со скоростью электронов V плотность тока, а, получаем:

Рис.11.2.

(11.7)

Для полей внутри цилиндрического пучка, воспользовавшись той же теоремой Гаусса и предполагая, что в пучке отсутствуют азимутальные поля, а также поля вдоль оси Z, получаем

и , (11.8)

где r - радиальная координата, отсчитываемая от оси пучка, а L – протяженность вдоль оси Z выделенного кольцевого пояска диаметром 2r. Отсюда следует, что внутри пучка радиальная составляющая поля увеличивается с радиусом:

. (11.9)

Вне пучка пространственного заряда нет, однако, площадь в интеграле по поверхности увеличивается. Поэтому в этой области поле уменьшается (см.рис.11.3) по закону

. (11.10)

Как и для ленточного пучка, можно записать выражение для поля в пучке через его ток. Учитывая, что

, (11.11)

получаем для области внутри пучка, т.е. при r r_п

. (11.12)

Рис.11.3.

Определив электрические поля, мы можем теперь определить и силы, расфокусирующие пучок.

(11.13)

Выражение для электрической силы бывает удобно записать для всей области внутри и вне цилиндрического электронного пучка в виде

 при1 -1 при1

(11.14)

где =r/r_п и =V/C – соответственно относительные значения координаты и скорости, а С – скорость света.

Здесь ток выражен в А, а линейные размеры в м.

Далее можно оценить и расфокусировку пучков под действием этих сил. Оценки показывают, что при нерелятивистских скоростях (1), когда можно пренебречь действием собственного магнитного поля пучка и связанной с этим самофокусировкой, расфокусировка зависит от первеанса и меняется следующим образом:

При микропервеансе р_ 1 пучок расширяется в два раза на пути L_x12,3r_по, где r_по - начальный радиус пучка.

Если р_ 3, L_x7,1r_по.

Обычно, L_x(10-10²)r_по, и приходится использовать специальные системы удержания.

Как мы уже говорили при рассмотрении гироконов, при релятивистских скоростях из-за действия собственных магнитных полей пучка расфокусировка замедляется или может даже отсутствовать. Чтобы оценить возможности самофокусировки, необходимо определить не только электрические, но и магнитные поля пучка. Из закона Ампера азимутальная составляющая магнитной индукции цилиндрического пучка с током I_п и радиусом r_п определяется соотношением:

 при1 -1 при1

(11.15)

где =r/r_п, ток выражен в А, линейные размеры в м, а магнитная индукция в Тл.

Зная магнитное поле, мы определяем и магнитную силу. Внутри пучка

. (11.16)

Сравнение соотношений (11.14) и (11.16) свидетельствует, что внутри пучка на всех радиальных координатах

, (11.17)

т.е. силы приблизительно равны только в ультрарелятивистском случае, когда .