10.6. Способы определения характеристик нелинейных процессов.
Завершая краткий анализ нелинейных процессов, следует сказать, что для получения информации о них, используют численный счет, эксперимент или пытаются свести задачу к небольшому количеству так называемых эталонных уравнений (“метод подгонки”). Практически только в последнем случае удается пользоваться аналитическими методами.
Наиболее известные эталонные уравнения, решения которых хорошо изучены:
1.
.
(10.12)
Такое простейшее уравнение хорошо описывает плоскую бегущую волну в нелинейной среде без дисперсии и диссипации. Оно удобно для описания поведения электронов в трубе дрейфа клистрона. Мы уже имели дело с уравнением такого типа (см. уравнение (10.9), описывающее опрокидывание волн.
2. Уравнение Бюргерса
.
(10.13)
К такому уравнению часто сводятся задачи, в которых рассматривается распространение волн в среде с затуханием.
3. Описание бегущих волн в среде с дисперсией часто сводится к обобщенному уравнению Кортевега-де-Вриза
.
(10.14)
Именно решение уравнения Кортевега-де-Вриза (КДВ) позволило найти солитонные решения в электронных потоках, распространяющихся в скрещенных полях.
4. Хорошо проанализировано также нелинейное уравнение Шредингера, которое в комплексной форме имеет вид
.
(10.15)
Здесь - комплексная величина.
Видно, что несмотря на сравнительно небольшой набор эталонных уравнений, они позволяют рассматривать многие волновые явления. Но все же хотелось бы подчеркнуть, что аналитика справляется только с весьма упрощенными и идеализированными нелинейными задачами. Основными же методами их решения являются численный расчет и эксперимент.