Электронные пучки

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

r

Рис. 8.1

Ход лучей в собирающей линзе

31

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

точками “А” и “В” около точки z = 0 . Левее точки “А” показатель преломления равен n = n01 , правее точки “В” n = n02 , где n01,2 - постоянные. Ход луча, выходящего из точки “Р” и

приходящего в точку “Р'”, для случая собирающей линзы изображен на Рис. 8.1. Проинтегрируем уравнение (8.17) по z от точки “Р” до точки “Р'”. Имеем

Здесь drdz и dr′dz - производные функции r(z) в точках “Р” и “Р'” соответственно.

Предположим теперь, что линза тонкая, т.е. размер области АВ мал по сравнению с расстояниями от точек “Р” и “Р'” до начала координат. Тогда (8.18) можно записать следующим образом:

где r0 = r(0) . Вне линзы, поскольку среда однородная, лучи являются прямыми. Из рисунка видно, что (в параксиальном приближении)

(8.21). В следующем параграфе будет показано, что по формулам (8.22) могут быть рассчитаны и фокусные расстояния электростатической линзы, применяемой для фокусировки электронных пучков.

§9. Аналогия между движением электрона в электростатическом поле

ираспространением луча в прозрачной среде

Сучетом того, что заряд электрона отрицательный запишем уравнение движения нерелятивистского электрона в электростатическом поле с потенциалом ϕ(r) в виде

Будем нормировать потенциал так, что он равен нулю там, где электрон имеет нулевую ско-

32

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

v 1

z=0

Рис. 9.1

Преломление траектории электрона при переходе через скачок потенциала

34

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

электронной оптике “показатель преломления” ϕ(rr) определяется потенциалом электро-

дов, создающих поле. Поэтому величина ϕ(rr) может меняться в самых широких пределах,

причем в одном и том же устройстве.

Используем уравнение (9.12), точнее его аналогию с уравнением (8.14), для расчета фокусного расстояния тонкой центрированной электростатической линзы. Такую линзу можно осуществить с помощью двух соосных полых металлических цилиндров: левый ци-

линдр с потенциалом ϕ 1 расположен в области левее точки “А” (см. Рис. 8.1), правый ци-

линдр с потенциалом ϕ 2 расположен правее точки “В”. В области между точками “А” и “В”

имеется неоднородное электростатическое поле, обладающее фокусирующим воздействием на электроны. Траектория электрона вполне аналогична лучу света, изображенному на Рис. 8.1.

Принимая во внимание аналогию с геометрической оптикой, воспользуемся форму-

Пределы интегрирования в (9.13) взяты бесконечными, поскольку потенциал изменяется (в отличие от обычной оптики) и вне области между точками “А” и “В”. Преобразуем формулы (9.13) к более удобному виду. Электростатический потенциал ϕ удовлетворяет уравнению Лапласа

Подставляя (9.15) в (9.14) для фокусных расстояний тонкой электронной линзы получаем

(*) Поскольку исходное уравнение (9.1) записано в декартовых координатах, то r не является цилиндрической координатой (!), а только обозначает любую из декартовых координат поперечных к оси z . Т.е. r имеет знак: r > 0 - выше оптической оси, r < 0 - ниже. При смене знака у r(z) изображение перевертывается.

36

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

следующие выражения:

стоящей из двух соосных полых металлических цилиндров), то в (9.16) целесообразно выполнить интегрирование по частям, что дает

обычной оптике тонкие линзы могут быть как собирающими, так и рассеивающими. Используя набор тонких электростатических линз (толстая линза) можно получить и эффект рассеяния электронов.

§ 10. Строгая теория параксиальных аксиально-симметричных электронно-оптических систем

Помимо фокусных расстояний электронно-оптическая система характеризуется коэффициентами линейного и углового увеличения, а также рядом соотношений общего характера. Все это может быть получено на основании аналогии с геометрической оптикой световых лучей. Мы же проведем соответствующее рассмотрение, основываясь на электроннооптическом уравнении (9.12).

Запишем уравнение (9.12) для центрированной электронно-оптической системы в параксиальном приближении. В этом приближении можно записать

Здесь ϕ0 (z) = ϕ(0, z), ϕ0′′(z) = ∂2ϕ0 (z)∂z2 . При получении (10.1) было использовано соотно-

шение (9.15). При dl = dz z - компонента уравнения (9.12) удовлетворяется тождественно, а r-компонента преобразуется к следующему виду:

Уравнение (10.2) и есть искомое уравнение центрированной электронно-оптической системы

37

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

в параксиальном приближении.

Построим общее решение уравнения (10.2) в области a < z < b . Пусть r1,2 (z) - линейно независимые решения уравнения (10.2), удовлетворяющие следующим начальным условиям в начальной точке траектории электрона:

Общее решение уравнения (10.2) дается линейной комбинацией линейно независимых решений r1,2 (z)

смысл. Поскольку r(a) = c2 , то c2 задает расстояние электронной траектории от главной оп-

тической оси в плоскости z = a . Далее, т.к. r′(a) = c1 , то c1 определяет тангенс угла наклона траектории электрона к оптической оси системы в той же плоскости. Предположим теперь,

точки r = c2 , в плоскости z = b соберутся в точке r = c2r2 (b) . Если c2 = 0 , то r(a) = r(b) = 0 . Следовательно, пучок траекторий вышедших в плоскости z = a из точки на главной оптической оси, в плоскости z = b соберется в точке лежащей на той же главной оси. Это означает фокусировку пучка (Рис. 10.2). Заметим, что мы имеем право говорить именно о пучке тра-

екторий, т.е. о пучке электронов, поскольку результат (10.5) не зависит от постоянной c1 , за-

дающей угол α = arctanc1 вылета электрона из точки r = 0 в плоскости z = a . Угол β , под которым траектории пересекают оптическую ось в плоскости z = b , равен α = arctan c1r1′(b) .

Как и в обычной оптике, плоскость z = a называют плоскостью объекта, а плоскость z = b - плоскостью изображения (Рис. 10.2).

Таким образом, аксиально-симметричные электростатические поля пригодны для получения точечных изображений при помощи параксиальных электронных пучков. В плоскости объекта и в плоскости изображения имеют место соотношения

38

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

дает изменение (увеличение или уменьшение) линейных размеров объекта при его

r1 (z)

r2 (z)

z

Рис. 10.1

Траектории электрона, описываемые решениями r1,2 (z)

39

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

β

z = a z = b

Рис. 10.2

Получение изображения точечного объекта, расположенного на главной оптической оси. α = arctanc1, β = arctanc1r1′(b)

40