Электронные пучки

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

(22.4) угловыми скоростями вращения частиц сорта α .

Из системы (40.11) легко находим выражения для амплитуд возмущений скоростей

Подстановка выражений (40.10) и (40.13) в первое уравнение системы (40.7) приводит к следующему выражению для амплитуды возмущения плотности частиц сорта α :

Здесь

вклады частиц сорта α в поперечную и продольную диэлектрические проницаемости соот-

Пуассона (40.5), получим следующее основное уравнение линейной теории электростатических колебаний цилиндрического столба радиально неоднородной заряженной плазмы

201

Заметим, что при получении выражения (40.15) и уравнения (40.18) было использовано соотношение

которое является следствием формул (40.12).

§ 41. Электрон – электронные двухпотоковые неустойчивости

Предположим, что плотности электронов пучка, электронов и ионов плазмы равномерно распределены по поперечному сечению круглого волновода радиуса R , а продольная скорость пучка постоянна, т.е. Vbz(s) (r) = u = const . Пусть также статический заряд в системе нейтрализован полностью, однородное внешнее продольное магнитное поле достаточно сильное, поэтому дрейфовым вращением компонент плазмы можно пренебречь, т.е. поло-

жить ωα(s) = 0 . Кроме того, пренебрежем движением тяжелых ионов. При этом дифференци-

альное уравнение (40.18) записывается в виде

где γ0 = (1 −u2 c2 )−1 2 - невозмущенный релятивистский фактор электронов пучка. Уравнение

(41.1) дополняется следующим граничным условием на металлической стенке волновода:

ψ (R) = 0 .

Решение уравнения (41.1), ограниченное в нуле и удовлетворяющее указанному гра-

ничному условию, выражается через функцию Бесселя порядка l : ψ (r) = const Jl (k r) , где k = µls R , а µls - корень функции Бесселя. Подставляя приведенное решение в уравнение

(41.1), получим следующее условие его разрешимости – дисперсионное уравнение:

202

Рис. 41.1

Дисперсионные кривые электростатических волн в магнитоактивной плазме и точки черенковского – 1 и 2 – и циклотронного – 3 и 4 - резонансов

ω

14

12

10

8

6

4

2

k z

0

Рис. 41.2

Характерные дисперсионные кривые уравнения (41.3)

204

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Первой формой записи дисперсионного уравнения (41.8) будем пользоваться при рассмотрении черенковских неустойчивостей, а второй – при рассмотрении неустойчивостей в услови-

ях циклотронного резонанса. Функция D0 (ω, kz ) определяет спектры частот объемных плаз-

менных волн.

Для вычисления инкрементов черенковских неустойчивостей представим частоту ω в виде (см. § 39)

величина в области ω > 0 положительная. Поэтому знаки в (41.11) проставлены верно, т.е. полученные инкременты соответствуют инкременту (39.10) неустойчивости, обусловленной одночастичным вынужденным эффектом Черенкова. Условие применимости выражений (41.11) следует из неравенства, приведенного в (41.9), и имеет вид

Последнее является аналогом (39.11).

Для вычисления инкрементов циклотронных неустойчивостей представим частоту ω

в виде

205

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

т.е. ω 3,4 и kz3,4 являются координатами точек 3 и 4 на Рис. 41.1. Подставляя (41.14) в (41.8),

В результате из уравнения (41.8) находим следующие выражения для инкрементов резонансных циклотронных неустойчивостей в условиях аномального эффекта Доплера:

Если сопоставить представления (41.14) и (39.6), а затем сравнить инкременты (41.17) и (39.14), то окажется, что структуры инкрементов полностью идентичны. Последнее не случайно: между коллективным эффектом Черенкова и аномальным эффектом Доплера имеется достаточно глубокая физическая аналогия.

§ 42. Электрон – ионные двухпотоковые неустойчивости

Неустойчивость, которая будет сейчас рассмотрена обусловлена относительным движением электронов пучка и ионов нейтрализующего фона. Но в отличие от обычной бунемановской неустойчивости плазмы с током (см. § 38) для ее развития требуется наличие свободной границы плазмы. Пусть электроны пучка и однозарядные ионы с постоянными плот-

ностями занимают однородную цилиндрическую область 0 ≤ r ≤ rb < R , где R - радиус ме-

ионы считаем не замагниченными, а электроны пучка наоборот полагаем сильно замагниченными внешним однородным продольным магнитным полем, что позволяет записать

чины (42.1) равны нулю. Кроме того, при написании (42.1) предполагалось, что выполнены неравенства

206

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

ω − kzu − lωb(s) 2 << Ωe2 γb2 , ωLb2 << Ωe2γ0−1, | ωb(s) | << Ωe γ0 , ωLi2 << ω2 , Ωi2 << ω2 . (42.2)

Подставляя (42.1) в (40.18), получим следующее дифференциальное уравнение для потенциала возмущений в электронно-ионной системе

Здесь ∆ = ω − kzu − lωb(s) . При записи правой части уравнения (42.3) учтено, что для ступен-

чатой функции ωLb2 (r) имеет место соотношение

Считаем также, что угловая скорость вращения электронного пучка ωb(s) совпадает с ωb(−) из

(23.12), т.е. не зависит от координаты r. Уравнение (42.3) дополняется граничным условием

ψ(R) = 0 .

Вслучае rb = R - полное заполнение волновода однородной плазмой – правая часть

уравнения (42.3) обращается в ноль, а его коэффициенты становятся постоянными. При этом из дифференциального уравнения (42.3) сразу следует дисперсионное уравнение

где µls - корень функции Бесселя. Хотя последнее уравнение и отличается от дисперсионного уравнения (38.2), оно фактически описывает обыкновенную бунемановскую неустойчивость плазмы с током, подробно исследованную нами в § 38. Поэтому рассматривать здесь особенностей, связанных с уравнением (42.5), мы не будем, а сразу перейдем к новой для нас неустойчивости, обусловленной относительным вращательным движением электронов пучка и ионов плазмы при наличии у них свободной границы.

Новое очевидно связано с правой частью уравнения (42.3), существенной только в случае rb < R , на чем и сосредоточимся. Более того, чтобы исключить влияние обыкновен-

ной бунемановской неустойчивости положим в уравнении (42.3) kz = 0 , записав его в виде

Ограниченное при r = 0 и обращающееся в ноль при r = R решение уравнения (42.7) дается

207

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

формулами

где А и В – постоянные. В дальнейшем будем рассматривать только случай l =1 . Напомним также, что частота Ωe , в соответствии с (22.6), знака заряда не содержит.

Для исключения постоянных А и В найдем условия сшивки потенциала на границе плазмы. Одно условие очевидно сводится к непрерывности самого потенциала

Подставляя решения (42.8) в условия (42.9) и (42.10) и исключая постоянные А и В, получим дисперсионное уравнение для определения собственных частот ω

Здесь была учтена связь между ионной и электронной ленгмюровской частотами. При малой плотности электронов пучка (см. (23.12) и второе неравенство (42.2)) выражение для угловой скорости вращения пучка ωb(s) упрощается

го уравнения довольно сложен). В новых переменных дисперсионное уравнение записывается в виде

Вуравнении (42.14) присутствует малый параметр f mM (для водородной плазмы mM ≈

5.410−4 ). В нулевом приближении по этому параметру (или при f = 0 ) из (42.14) находим три корня

208

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Первый корень, после перехода к размерным переменным, дает ω ≈ ωLb2 2Ωe и описывает дрейфовое вращение пучка в скрещенных внешнем магнитном и собственном электрическом полях. Именно корень y1 порождает комплексные решения уравнения (42.14).

а комплексная частота с максимальной мнимой частью определяется следующим выражением

Видно, что действительная и мнимая части частоты имеют одинаковый порядок, т.е. рассмотренная неустойчивость является апериодической. Максимальный инкремент этой электрон – ионной неустойчивости совпадает с частотой (42.12) дрейфового вращения. Отноше-

ние масс mM определяет область плотностей пучка, в которой существует неустойчивость:

при mM → 0 , или при f = 0 , размер области неустойчивости равен нулю.

Рассмотренную неустойчивость называют также токово-конвективной. При этой не-

209

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

устойчивости, поскольку она развивается на азимутально несимметричных модах с l ≥1, электронный пучок ассиметрично смещается относительно нейтрализующего ионного фона. Дрейфовое вращение пучка приводит к апериодическому нарастанию величины данного смещения, т.е. к уходу электронного пучка от его равновесного положения внутри нейтрализующего ионного канала.

§ 43. Неустойчивости пучка с неоднородным поперечным профилем продольной скорости - slipping-неустойчивости

Предположим, что зарядовая нейтрализация электронного пучка обеспечивается фоном бесконечно тяжелых ионов, электроны фона отсутствуют, а продольная скорость элек-

тронов пучка Vbz(s) ≡ u(r) зависит от поперечной координаты r. Неустойчивости, которые рас-

сматриваются в данном разделе связаны именно с неоднородностью поперечного распределения продольной скорости направленного движения электронов пучка.

Начнем со случая отсутствия внешнего магнитного поля, т.е. Ωe = 0 . Пучок считаем нерелятивистским и полностью нейтрализованным ионным фоном. Тогда, согласно формуле

(23.8), записанной для f =1 и β02 → 0 , угловая скорость азимутального вращения пучка рав-

на нулю. При этом общее дифференциальное уравнение (40.18) сводится к следующему виду:

аналитически. Мы, чтобы установить сам факт существования новой для нас неустойчивости, ограничимся случаем ступенчатой функции ε(r) .

Пусть распределения плотности и скорости электронов пучка определяются форму-

лами

постоянную величину ε(r) и записать его решение в виде (полагаем конечно, что ε(r) ≠ 0 )

210