40,7 И 6,4 м/с. (27)

2. Рассмотрим теперь движение груза на участке ВС; найденная скорость будет для движения на этом участке начальной скоростью (). Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы. Проведем из точки В осиии составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось:

или

, (28)

где . Для определениясоставим уравнение в проекции на ось. Так как, получим, откуда. Следовательно,; кроме того,и уравнение (28) примет вид

. (29)

Разделив обе части равенства на , вычислим

; 16/=8

и подставим эти значения в (29). Тогда получим

. (30)

Умножая обе части уравнения (30) на и интегрируя, найдем

. (31)

Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке В, считая в этот момент . Тогда при, гдедается равенством (27). Подставляя эти величины в (31), получим

.

При найденном значении уравнение (31) дает

. (32)

Умножая обе части на и снова интегрируя, найдем

. (33)

Так как при , тои окончательный искомый закон движения груза будет

(34)

где – в метрах,– в секундах.

Таблица 1

Номер Условия	, кг	, м/с	, Н	, Н	,м	, с	, Н
0	2	20	6	0,4	–	2,5
1	2,4	12	6		1,5	–
2	4,5	24	9	0,5	–	3
3	6	14	22		5	–
4	1,6	18	4	0,4	–	2
5	8	10	16		4	–
6	1,8	24	5	0,3	–	2
7	4	12	12		2,5	–
8	3	22	9	0,5	–	3
9	4,8	10	12		4	–

x x

Схема Д1.0 Схема Д1.1

Рис.2. Схемы к задачам

Схема Д1.2 Схема Д1.3

Схема Д1.4 Схема Д1.5

x

Схема Д1.6 Схема Д1.7

Схема Д1.8 Схема Д1.9

Рис.3. Схемы к задачам

Задача Д2

Механическая система состоит из грузов 1 и2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней 0,3 м,0,1 м и радиусом инерции относительно оси вращения0,2 м, блока 4 радиуса0,2 м и катка (или подвижного блока) 5 (схемы Д2.0 – Д2.9); тело 5 считать сплошным однородным цилиндром, а массу блока 4 – равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость0,1. Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотаны на шкив 3 (или на шкив и каток); участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткости.

Под действием силы , зависящей от перемещенияточки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя. Деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент М сил сопротивления (от трения в подшипниках).

Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение станет равным0,2 м. Искомая величина указана в столбце «Найти» таблицы, где обозначено:– скорости грузов 1, 2 и центра масс тела 5 соответственно,– угловые скорости тел 3 и 4.

Все катки, включая и катки, обмотанные нитями (как, например каток 5 на схеме Д1.2), катятся по плоскостям без скольжения.

На всех рисунках не изображать груз 2, если ; остальные тела должны изображаться и тогда, когда их масса равна нулю.

Все необходимые данные представлены в табл.2.

Указания. Задача Д2 – на применение теоремы об изменении кинетической энергии системы. При решении задачи учесть, что кинетическая энергия Т системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в систему тел. Эту энергию нужно выразить через ту скорость (линейную или угловую), которую в задаче надо определить. При вычислении Т для установления зависимости между скоростями точек тела, движущегося плоскопараллельно, или между его угловой скоростью и скоростью центра масс воспользоваться мгновенным центром скоростей (кинематика). При вычислении работы надо все перемещения выразить через заданное перемещение , учтя что зависимость между перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями.

Пример. Механическая система (рис.4а) состоит из сплошного однородного цилиндрического катка 1, подвижного блока 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней ии радиусом инерции относительно оси вращения, блока 4 и груза 5 (коэффициент трения груза о плоскость равен). Тела системы соединены нитями, намотанными на шкив 3. К центру Е блока 2 прикреплена пружина с коэффициентом жесткости; ее начальная деформация равна нулю.

Рис.4. Схема механической системы

Система приходит в движение из состояния покоя под действием силы , зависящей от перемещенияточки ее приложения. На шкив 3 при движении действует постоянный момент М сил сопротивления.

Д а н о: 8 кг,0 ,4 кг,0,10 кг,=0,3 м,=0,1 м,=0,2 м,0,1,240 Н/м, М =0,6 Н·м,Н,=0,2 м.

О п р е д е л и т ь: в тот момент времени, когда=.

Решение. 1. Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из весомых тел 1, 3, 5 и невесомых тел 2, 4, соединенных нитями. Изобразим действующие на систему внешние силы: активные, реакции, натяжение нити, силы тренияи момент М.

Для определения воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:(35)

2. Определяем и. Так как в начальный момент система находилась в покое, то= 0. Величинаравна сумме энергий всех тел системы:

. (36)

Учитывая, что тело 1 движется плоскопараллельно, тело 5 – поступательно, а тело 3 вращается вокруг неподвижной оси, получим

;;(37)

Все входящие сюда скорости надо выразить через искомую . Для этого предварительно заметим, что, где А – любая точка обода радиусашкива 3 и что точка– мгновенный центр скоростей катка 1, радиус которого обозначим. Тогда

;(38)

Кроме того, входящие в (37) моменты инерции имеют значения

;(39)

Подставив все величины (38) и (39) в равенства (37), а затем, используя равенство (36), получим окончательно

(40)

3. Теперь найдем сумму работ все действующих внешних сил при перемещении, которое будет иметь система, когда центр катка 1 пройдет путь . Введя обозначения:– перемещение груза 5 (=),– угол поворота шкива 3,– начальное и конечное удлинения пружин, получим

;;

;;

.

Работы остальных сил равны нулю, так как точки и, где приложены силы– мгновенные центры скоростей; точки, где приложены силы– неподвижны; а реакцияперпендикулярна перемещению груза.

По условиям задачи, =0. Тогда, где– перемещение точки Е (конца пружины). Величиныинадо выразить через заданное перемещение; для этого учтем, что зависимость между перемещениями здесь такая же, как и между соответствующими скоростями. Тогда так как(равенствоуже отмечалось), то и.

Далее, из рис.4б видно, что , а так как точкаявляется мгновенным центром скоростей для блока 2 (он как бы «катится» по участку нити), то; следовательно, и. При найденных значенияхидля суммы вычисленных работ получим

(41)

Подставляя выражения (40) и (41) в уравнение (35) и учитывая, что , придем к равенству

(42)

Из равенства (42), подставив в него числовые значения заданных величин, найдем искомую угловую скорость .

О т в е т: =8,1.

Таблица 2

Номер условия	, кг	, кг	, кг	, кг	, кг	с, Н/м	М, Н·м	, Н	Найти
0	0	6	4	0	5	200	1,2	80(4+5S)
1	8	0	0	4	6	320	0,8	50(8+3S)
2	0	4	6	0	5	240	1,4	60(6+5S)
3	0	6	0	5	4	300	1,8	80(5+6S0
4	5	0	4	0	6	240	1,2	40(9+4S)
5	0	5	0	6	4	200	1,6	50(7+8S)
6	8	0	5	0	6	280	0,8	40(8+9S)
7	0	4	0	6	5	300	1,5	60(8+5S)
8	4	0	0	5	6	320	1,4	50(9+2S)
9	0	5	6	0	4	280	1,6	80(6+7S)

Схема Д2.0 Схема Д2.1

Схема Д2.2 Схема Д2.3

Схема Д2.4 Схема Д2.5

Схема Д2.6 Схема Д2.7

Рис. 5. Схемы механических систем

Схема Д2.8 Схема Д2.9

Рис. 6. Схемы механических систем