10. Вывод дифференциального уравнения теплопроводности для потока жидкости, его частные случаи.

11. Стационарное температурное поле и дифференциальное уравнение, его описывающее. Вывод этого уравнения.

Описывает нестационарное пространственное t-е поле, т.е. где значенияtменяются в каждой точке во времени. Выделим в однородном тв теле объёмVв системе декартовых координат (xyz), основные координаты совместим с гранямиdx,dy,dz. В пределахV, t меняется в 3ч направлениях. => через 3 грани в направлении 3х осей будут входить кол-во теплотыQ1,Q3,Q5; через 3 противоположн грани будет выходить кол-во теплотыQ2,Q4,Q6. ЗСЭ: кол-во теплоты, поступающее вVчерез его грани за времяtравно изменению энтальпии этогоV–Q7. ∑Q=Q7. По формулеQ=qF(q-уд тепловой поток):Q₁=q_xdxdydz,Q₃=q_ydxdydz;Q₂= - (q_x+(ɗq_x/ɗx)dx)dxdydz;Q₄=- (q_y+(ɗq_y/ɗy)dy)dxdydz;Q₇=cρdxdydzɗt/ɗτdτ. (qi- уд тепловые потоки через грани соотв х, у, z; dqi/ d x ,- изменение уд тепловых потоков внутри выделенного объема по осям х, у, z; dt/dx — изменение температуры этого объема за время dx).Решая совместно и деля на dxdydz dτ, cρ:ɗt/ɗτ= -1/cρ(ɗq_x/ɗx+ ɗq_y/ɗy+ɗq_z/ɗz); По з.Фурье:q= -λ ɗt/ɗn(λ-коэф пропорц) => ɗt/ɗτ= λ/cρ(ɗ²q_x/ɗx²+ ɗ²q_y/ɗy²+ɗ²q_z/ɗz²); Обозначив скобище за▼(оператор Лапласа), и λ/cρ=a=> ɗt/ɗτ=a▼²t. Можно записать в цилиндрич координатах (x=rcosφ,y=rsinφ,z=z): ɗt/ɗτ=a(ɗ²t/ɗr²+1/r*ɗt/ɗr+1/r²*ɗ²t/ɗφ²+ɗ²t/ɗz²); Для нестационарного двухмерногоtполя: ɗt/ɗτ=a(ɗ²t/ɗx²+ ɗ²t/ɗy²); Для нестац-го одномерного: ɗt/ɗτ=a(ɗ²t/ɗx²).Стац поле-это поле, в котt’=f(x,y,z)=const. Еслиt=const=>левая часть всех ур-й=0, «а» отбрасываем и записываем 3 ур-я. \\\ Ур-е с ▼ позволяет решить задачу, когда нет источников теплоты. Если есть, то к правой части прибавляемW/cρ, (W-интенсивность источника).

12. Условия однозначности при решении уравнения теплопроводности.

Чтобы решить с помощью диф-ого уравнения теплопроводности задачу, нужноо знать условия однозначности (УО), кот позволяют различать задачу одну от другой. УО состоят: 1)Геометрические У-характер-ют формы и размеры тела. 2)Физические У- хар-ют физ свойства вещества, слогающие тело; 3)Краевые (временные) У- хар-ют распределениеtв рассматр-м теле в начальный момент времени (нач.условия).4) Граничные У- хар-ют тепловое взаим-е рассм-го тела с окр его средой.1. НУзаключаются в задании распределения значенийtв нач момент времени (τ = 0). Они должны быть заданы в виде функций: t_τ=0= f₁(х, у, z) - для пространственной задачи, для плоской и линейной безyиzсоотв.2.ГУ. В зав-ти от способа задания бывают 1,2,3,4 рода.

А). ГУ 1го рода- задаетсяtво всех точках поверхности тела в течение времени τ: t_п=f₄ (x,y,z,τ).

Б). ГУ2го рода- задается удельный тепловой поток по з.Фурье через поверхность тела в течение времени τ: q_п= -λɗt/ɗn; q_п=f₅(x,y,z,τ).B)ГУ3го рода-заданиеtповерхности тела и окр его среды (t_с) и задании теплообмена (коэф теплоотдачи) между пов-ю этого тела и окружающей средой по з.Ньютона. q_п= α(t_п-t_с); Приравнивая (Ф=Н): ɗt/ɗn|_n= - ɑ/λ (t_п-t_с), ɗt/ɗn|_n –градиентtу пов-ти и по нормали к ней.Г). ГУ4города -задается равенствоtна поверхности раздела 2х тел или тела с окр средой при подходе к ней с 2х сторон, а также удельных тепловых потоков по з.Фурье в предположении, что между этими телами осуществляется идеальный контакт. t₁= t₂ и q₁ = q_2.