16. Основные ур-ния мат физики.

Классификация и приведение к каноническому виду уравнений в частных производных с двумя переменными второго порядка. Характеристическое уравнение. Основные уравнения:

Гиперболические уравнения.

К уравнениям гиперболического типа приводят задачи, связанные с процессами колебаний, например, задача о колебаниях струны, мембраны, газа, электромагнитных колебаний и т.п. Характерной особенностью процессов, описываемых такими уравнениями, является конечная скорость их распространения. Основным уравнением гиперболического типа является волновое уравнение.

Параболические уравнения

Уравнения параболического типа наиболее часто встречаются при изучении процессов теплопроводности и диффузии.

Эллиптичесие уравнения класс дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих стационарные процессы.

Метод разделения переменных - метод решения дифференциальных уравнений, основанный на алгебраическом преобразовании исходного уравнения к равенству двух выражений, зависящих от разных независимых переменных.

В применении к уравнениям в частных производных схема разделения переменных приводит к нахождению решения в виде ряда или интеграла Фурье. В этом случае метод также называютметодом Фурье (в честь Жана Батиста Фурье, построившего решенияуравнения теплопроводности в виде тригонометрических рядов) и методом стоячих волн.

17.Функции Бесселя являются, по-видимому, наиболее часто употребляемыми высшими трансцендентными функциями. Они чаще всего встречаютсяпри решениидифференциальных уравнений в частных производных методомразделения переменных, а также при вычислении некоторых определенных интегралов. x²u"+xu'+(x²-v²)u=0, где ν – параметр уравнения, называется уравнением Бесселя, а всякое решениеэтого уравнения, не равное тождественно нулю, называется цилиндрическойфункцией.

Чаще всего параметр уравнения ν есть целое число. В этом случае собственными функциями задачи являются функции Бесселя J_v(μ_k,x), соответствующие собственным значениям λ_k=μ_k², k=1,2,3,...,где a*μ_k – положительные нули функции Бесселя J_v(t), , т.е. J_v(aμ_k)=0

Разложение Фурье-Бесселя имеет вид:

С учетом условия ортонормированности функций Бесселя

Коэффициент разложения вычисляется по формуле

18. Преобразование Фурье(ℱ)— операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие - гармонические колебанияс разными частотами.Преобразование Фурье функции F вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой:

Фурье является линейным оператором:

Справедливо равенство Парсеваля: если fϵL₁(R)∩L₂(R), то преобразование Фурье сохраняет L₂-норму:

Формула обращения:

Теорема о свёртке: если f,gϵL₁(R), тогда

, где

Преобразование Фурье и дифференцирование. Если f,f'ϵL₁(R), то

Из этой формулы легко выводится формула для n-й производной:

Формулы верны и в случае обобщённых функций. Преобразование Фурье и сдвиг.

Эта и предыдущая формула являются частными случаями теоремы о свёртке, так как сдвиг по аргументу — это свёртка со сдвинутой дельта функцией δ(x-x₀), а дифференцирование — свёртка с производной дельта-функции.