9. Тригонометрич с-ма.

Определение1:Система(множество,совокупность)функций,определенныхнаотрезке[a,b], называется ортогональной на этом отрезке, если приипри,то есть.

Определение 2. Система функций 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…, cosnx, sinnx называется тригонометрической.

Тригонометрический ряд Фурье — представление произвольной функции f с периодом τ в виде ряда

Или используя комплексную запись, в виде ряда:.

Свойства тригонометрического ряда Фурье

Все утверждения этого параграфа верны в предположении, что участвующие в них функции (и результаты операций с ними) лежат в пространстве L² ([-π,π], C).

Вычисление коэффициентов Фурье является линейной операцией:

Справедливо равенство Парсеваля:

Коэффициенты Фурье производной легко выражаются через коэффициенты Фурье самой функции:

коэффициенты Фурье произведения двух функций выражаются сверткойкоэффициентов Фурье сомножителей:

рассмотрим операцию свертки функций:

где функции предполагаются периодически продолженными с промежутка [-π, π] на всю прямую. Тогда

10.Многочлены Лежандра и их свойства.

Свойства многочленов Лежандра:

1. P_n(1)=1

2. При чётном n многочлен P_n(x) содержит только чётные степени x, при нечётном- только нечётные степени x.

3. P_n(-x)=(-1)ⁿ P_n(x)

4. |P_n(x)|≤1 при |x| ≤1

5. Многочлены Лежандра ортогональны на отрезке [-1, +1], т.е.

6. Квадрат нормы многочлена P_n(x) равен, т.е.

Свойства 5, 6 позволяют найти коэффициенты разложения функции в ряд Фурье-Лежандра:

Формула Родрига для многочленов Лежандра

Разложение функции fна отрезке [-1;1] на многочлены Лежандра имеет вид:где

12. Собственные значения и собственные функций оператора

Собственной функций оператора Fˆ называется такая функция ψ (ξ), при действии на которую оператором Fˆ получается снова функция ψ (ξ) с точностью до численного множителя λ :

Численный множитель λ называется собственным значением оператора Fˆ . Собственное значение λ оператора Fˆ называется невырожденным, если существует единственная собственная функция оператора Fˆ с таким собственным значением. Собственное значение λ оператора Fˆ называется вырожденным, если у оператора Fˆ есть более чем одна собственная функция с собственным значением λ :

В силу линейности оператора Fˆ любая линейная комбинация функцийтакже является собственной функцией оператора Fˆ с собственным значением λ . Таким образом, все собственные функции оператора Fˆ , отвечающие данному вырожденному собственному значению λ , образуют линейное подпространство, которое мы будем обозначать Lλ. Пусть n – размерность Lλ. Тогда говорят, что собственное значение λ оператора Fˆ n-кратно вырожденно.

НЕПРЕРЫВНЫЙ ОПЕРАТОР

- непрерывное отображение множества топологического и, как правило, векторного пространства Xв такое же пространство Y, а именно: 1) отображение A:M→Y,MX непрерывно в точке x₀ ϵM, если для любой окрестностиVY точки Ax₀ найдется окрестность UX точки х₀ такая, что A(M∩U) V; 2) отображение A:M→Y непрерывно на множестве М, если оно непрерывно в каждой точке этого множества.