1.2. Решение задачи многокритериальной линейной оптимизации методом минимаксного критерия

При использовании этого метода сначала также решается исходная задача (1), (2) по каждому из частных критериев в отдельности и находятся их оптимальные значения ,. Для применения минимаксного критерия эти величины должны быть положительны. Поскольку в общем случае это условием может и не выполняться, используя соотношение (3), выполним переход к соответствующим критериямz_k с положительными экстремальными значениями для всех.

Пусть - неизвестное пока компромиссное решение задачи. Тогда относительные отклонения_k показателей () от значений соответствующих частных критериевв компромиссном решении можно определить следующим образом:

, . (24)

Выделим из полученных отклонений наибольшее и потребуем, чтобы в искомом компромиссном решении оно было минимальным. Тогда целевая функция в общем виде запишется так:

.

Обозначим наибольшее отклонение через переменную и заменим в (24) отдельные отклонения_k () величинойx_n+1. Тогда получим нестрогие неравенства

, ,

которые с учетом ,, будут иметь вид

, . (25)

Представим условие (25) таким образом, чтобы исключить операцию определения абсолютной величины. Очевидно, что в компромиссном решении значение максимизируемого частного критерия z_s меньше его экстремального значения, т.е. . Отсюда неравенство (25) запишется как

или .

Для минимизируемого критерия z_t имеем , что позволяет записать неравенство (25) в виде

или .

Для поиска компромиссного решения задачи многокритериальной линейной оптимизации с ограничениями (2) и частными критериями оптимальности (3) по методу минимаксного критерия требуется решить расширенную задачу линейного программирования, которая формулируется на основе исходной задачи следующим образом.

Шаг 1. Дополнительно к переменным () исходной задачи вводится неотрицательная переменнаяx_n+1 > 0.

Шаг 2. В качестве целевой функции принимается значение x_n+1:

Z = x_n+1  min. (26)

Шаг 3. В систему ограничений (2) вводятся p дополнительных неравенств, определяющих взаимосвязь отклонений частных показателей от их экстремальных значений с максимальным из этих отклонений. Вид этих неравенств зависит от направлений оптимизации частных критериев:

, ; (27)

, , (28)

где F₁ и F₂ – подмножества максимизируемых и минимизируемых критериев соответственно.

Таким образом, компромиссное решение можно получить, если решить расширенную задачу линейного программирования с целевой функцией (26) и ограничениями (2), (27), (28) при условии неотрицательности всех переменных x_i ().

Пример 2. Покажем применение метода минимаксного критерия для решения задачи из примера 1, которая имеет частные критерии

; ;

и ограничения (14) - (18) при условии неотрицательности всех переменных.

Результаты решения задачи по каждому критерию в отдельности приведены в табл. 2, из которой следует, что

19,467; 12,000;51,818.

Тогда дополнительные ограничения запишутся следующим образом:

а целевая функция (минимаксный критерий) будет иметь вид

.

Размещение исходных данных на рабочем листе электронной таблицы для поиска компромиссного решения задачи по минимаксному критерию показано на рис. 8.

Изменяемые переменные размещены в диапазоне $B$2:$D$2. Три последние строки таблицы выполняют вычисление значений частных критериев для компромиссного решения. Результаты будут получены в ячейках E17:E19.

Рис. 8

Для получения компромиссного решения задачи в диалоговом окне «Поиск решения» указываются адрес целевой ячейки E14, направление оптимизации (минимальное значение), определяются ограничения и задаются параметры Линейная модель и Неотрицательные значения. Состояние рабочего листа электронной таблицы после завершения поиска решения показано на рис. 9.

Рис. 9

Компромиссное решение, полученное по минимаксному критерию, имеет следующий вид:

x₁ = 2,38; x₂ = 2,14; f₁ = z₁ = 9,57; f₂ = z₂ = 18,10; f₃ = z₃ = 25,48.

Нетрудно заметить, что оно совпадает с решением по методу равных и наименьших относительных отклонений (которые составляют 0,5083), поскольку минимаксное относительное отклонение .