Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

et_zad

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

1.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

U U02 Uk2 ; I I02 Ik2 ;

где Uk Umk / 2 – действующее значение k-ой гармоники напряжения; Ik Imk / 2 – действующее значение k-ой гармоники тока;

U0 , I0 – постоянные составляющие напряжения и тока, соответственно.

Среднюю мощность несинусоидального тока определяют как сумму мощностей отдельных гармоник

P P0 Pk ,

где Pk Uk Ik cos k – средняя мощность k-ой гармоники тока; P0 U0 I0 – мощность постоянного тока.

Полную мощность несинусоидального тока определяют аналогично полной мощности синусоидального тока по формуле S=UI.

По аналогии с синусоидальным током вводится понятие реактивной мощ-

ности Q Qk ,

где Qk Uk Ik sin k – реактивная мощность k-ой гармоники тока;

В отличие от синусоидального тока полная мощность S оказывается больше геометрической суммы средней и реактивной мощностей

3. Расчет цепей несинусоидального переменного тока

При негармонических воздействиях алгоритм расчета цепи может быть следующим:

1)периодическое негармоническое воздействие представляют в виде суммы гармонических сигналов, используя ряд Фурье;

2)ограничивают бесконечный ряд Фурье некоторым числом гармоник, учитывая при этом, что мощность каждой последующей гармоники убывает пропорционально квадрату ее амплитуды;

3)выполняют расчет цепи для каждой отдельной гармоники напряжения или тока, учитывая при этом, что структура цепи сохраняется, а со-

противления и проводимости реактивных элементов изменяются с

изменением частоты гармоники;

4)результирующую реакцию цепи находят при помощи метода наложения путем сложения реакций для отдельных гармоник воздействия.

Втабл. 1. приведены некоторые типовые функции и их разложения в ряд

Фурье. Графики этих функций приведены на рис. 4.1. При этом приняты следующие обозначения: x 1t; 1 2 /T .

		f1(х)
		f1(х)								f2(х)
							FM
FM
FM


						х
						х								x



	0			2
	0				1				0		2	4	2
									0		2	4




										f4(х)
			f3(х)
			f3(х)
FM
								FM

0		2	0		2
		3			4
	f5(х)			f6(х)
FM			FM	f6(х)
FM			FM

0	/2	2	0	2	4
		5		f8(х)	6
	f7(х)			f8(х)
FM	f7(х)
FM			FM

x		x

0	/2	2	0		2
	f9(х)	7		f10(х)	8
	f9(х)
FM
FM			FM
			FM

									x
					x
			2
			2

	0	/2					0	2




				9		- FM		10
				9				10

- FM
- FM

Рис. 4.1. Графики типовых несинусоидальных функций

f11(x)

f12(x)

						x									x



	0		/2	2							/2
	0		/2		11				0			2	12
									0

		f13(x)


										f14(x)




FM								FM


							x

														x
														x

0		2	13	0	/2	2	14
			13		f16(x)		14
	f15(x)				f16(x)
	f15(x)
FM				FM

FM/2

x	x

0		2	15	0		2
			15			16
	f17(x)				f18(x)	16
	f17(x)				f18(x)

	FM	FM
	FM	FM


FM/2		FM/2
FM/2		FM/2

x	/3	x

0		2	17	0	2 /3	2	18
			17				18
	f19(x)				f20(x)
FM				FM


			x
			x					x



0		2
0				19		0	2
						0	2




					-FM		20
							20

	Рис. 4.1. Графики типовых несинусоидальных функций (продолжение)

f21(х)

-FM

f23(х)

-FM

f25(х)

/6 /2

-FM

f27(х)

FM/2

-FM/2

-FM

f22(х)

0 2 /3

-FM

f24(х)

-FM

f26(х)

-FM

f28(х)

2 /3

-FM

Рис. 4.1. Графики типовых несинусоидальных функций (продолжение)

Таблица 4.1. Ряды Фурье для несинусоидальных функций рис. 4.1. *

графика№ .функции

Разложение функции y(x) в ряд Фурье

f1(x)

sin x

sin3x

sin5x

f2 (x)

sin x

sin 2x

sin3x

									F								4F												1							1
			f3 (x)								M									M			cos x								cos3x							cos5x
			f3 (x)																	2			cos x						9		cos3x					25		cos5x
									2																				9							25
						2F									4F							1								1									1
	f4 (x)								M									M							cos 2x								cos 4x								cos6x
	f4 (x)																					3			cos 2x								cos 4x					35			cos6x
																						3							15									35
						2F									4F							1								1									1
	f5 (x)								M									M							cos 2x								cos 4x								cos6x
	f5 (x)																					3			cos 2x								cos 4x					35			cos6x
																						3							15									35
												F							F										1							1
				f6 (x)										M							M			sin x							sin 2x						sin3x
				f6 (x)																				sin x					2		sin 2x					3	sin3x
													2																2							3
					F					4F																1								1							1
	f7 (x)				M								M			cos x											cos 2x								cos3x									cos5x
	f7 (x)			4									2			cos x										2	cos 2x							9	cos3x					25				cos5x
				4																						2								9						25
							F														1								1								1
		f8 (x)						M			2FM													sin x								cos 2x								cos 4x
		f8 (x)									2FM										4			sin x				3				cos 2x								cos 4x
																					4							3								15

								2																																		1
								2
										1 sin(x 32,5 ) sin(3x 90 )																																	sin(5x 90 )
										1 sin(x 32,5 ) sin(3x 90 )																																	sin(5x 90 )
						4																																			3
			F			1																				1											1
f9	(x)		M					sin(7x 90 )																			sin(9x 90 )												sin(11x 90 )
f9	(x)					3		sin(7x 90 )																		5	sin(9x 90 )										5		sin(11x 90 )
						3																				5											5
						1
								sin(13x 90 )
						7		sin(13x 90 )

* В таблице приведены разложение в ряд Фурье типовых функций, графики

которых приведены на рисунке. При этом приняты следующие обозначения: x 1t; 1 2 /T .

1																																											2

																									8F																1																1
10										f10				(x)														M				sin x													sin3x															sin5x
10										f10				(x)														2				sin x									9				sin3x										25					sin5x
																																									9														25
																					F								2F																				1												1
11					f11(x)																	M												M		cos x															cos3x											cos5x
11					f11(x)															2																cos x													3		cos3x										5	cos5x
																				2																													3												5
														F																			1														1															1
12			f12 (x)														M				2FM														cos x																cos 2x														cos 4x
12			f12 (x)																		2FM												4		cos x											3					cos 2x										15				cos 4x
																																	4													3															15
		F						F						sin(x 32,5 )																										sin(2x)															sin(3x)												sin(4x)				sin(5x)
13	f13 (x)		M							M
13	f13 (x)	4																						0,843																							2											3											4	5
		4																						0,843																							2											3											4	5

												F											4F																		1														1													1
14		f14 (x)													M												M			sin x														cos 2x														sin3x											sin5x
14		f14 (x)												4													2			sin x											2			cos 2x											9			sin3x										5	sin5x
														4																											2														9													5
		F					F							sin(x 32,5 )																										sin(2x)															sin(3x)												sin(4x)				sin(5x)
15	f15 (x)		M							M
15	f15 (x)	4																						0,843																							2											3											4	5
		4																						0,843																							2											3											4	5

			3F								F							sin(x 12 )																					sin(2x)															sin(3x)												sin(4x)				sin(5x)
16	f16 (x)			M									M
16	f16 (x)	8																							0,653																				4													2											8	3,33
		8																							0,653																				4													2											8	3,33

			3F								F							sin(x 12 )																					sin(2x)															sin(3x)												sin(4x)				sin(5x)
17	f17 (x)		M									M
17	f17 (x)	8																							0,653																				4													2											8	3,33
		8																							0,653																				4													2											8	3,33


																			F												3F																			1												1
18			f18 (x)																		M													M			cos x															cos5x											cos 7x
18			f18 (x)																	2																	cos x													5		cos5x										7	cos 7x
																				2																														5												7
																										4F																	1														1
19											f19 (x)																		M				sin x															sin3x											sin5x
19											f19 (x)																						sin x										3					sin3x									5		sin5x
																																											3														5
																										2F																	1														1
20										f20 (x)																			M				sin x															sin 2x											sin3x
20										f20 (x)																							sin x										2					sin 2x									3		sin3x
																																											2														3
																										2F																	1														1
21											f21(x)																		M				sin x															sin 2x											sin3x
21											f21(x)																						sin x										2					sin 2x									3		sin3x
																																											2														3

						6						3 F																								1																	1													1
22	f22 (x)																				M			sin x														sin5x																	sin 7x														sin11x
22	f22 (x)															2								sin x												25		sin5x														49			sin 7x									121					sin11x
																																				25																49												121
									F							sin(x 32,5 )																										sin(3x)														sin(5x)												sin(7x)
	f23 (x)										M
23	f23 (x)																								0, 422																				1,5													2,5											3,5
23																									0, 422																				1,5													2,5											3,5

1																			2

			F			F				sin(x 12 )							sin(2x)							sin(3x)						sin(4x)						sin(5x)
24	f24	(x)	M				M
24	f24	(x)	4									0,326							2							1							4			1,67
			4									0,326							2							1							4			1,67


				6			3 F									1							1										1
25		f25 (x)									M		cos x				cos5x									cos7x									cos11x
25		f25 (x)							2				cos x			25	cos5x					49				cos7x					121				cos11x
																25						49									121
						F				sin(x 32,5 )									sin(3x)								sin(5x)							sin(7x)
26		f26 (x)					M
26		f26 (x)										0, 422								1,5								2,5							3,5
												0, 422								1,5								2,5							3,5

							F				sin(x 12					)		sin(3x)							sin(5x)							sin(7x)
27			f27 (x)					M
27			f27 (x)									0,326								1						1,67							2,33
												0,326								1						1,67							2,33


												2 3F								1								1
28					f28 (x)									M	cos x						cos5x								cos7x
28					f28 (x)										cos x					5	cos5x							7	cos7x
																				5								7

Следует помнить, что для расчетов данные функции нужно привести к виду:

f (x) A0 A1m sin(t 1) A2m sin(2t 1)

Akm sin(k t k )

Приведение осуществляется следующим образом:

sin(t ) sin(t ); cos(t ) sin(t / 2);cos(t ) sin(t / 2).

ЗАДАЧА 4

Дано: К электрической цепи, схема которой приводится ниже, приложено несинусоидальное периодическое напряжение, форма которого также показана. Параметры цепи имеют следующие значения: R2 RН 10 [Ом]; L1 L3 0,1

[Гн]; C2 100 [мкФ]; EM FM 100[В]; 1 100 [рад/с].

Требуется выполнить следующие операции:

1)представить напряжение источника f(x)=e(t) рядом Фурье, ограничив число членов ряда постоянной составляющей и тремя первыми гармониками.

2)построить графики спектров амплитуд и начальных фаз заданного источника.

3)определить напряжение на нагрузке uн (t) , используя метод расчета по комплексным значениям;

4)построить графики спектральных составляющих для напряжения (тока) на нагрузке.

5)определить действующее значение напряжения (тока) на нагрузке и мощность, рассеиваемую в ней.

		e(t)

L1	L3	EM
	C2	EM
	C2
e(t)	R2	Rн
	R2			t
				t
		0		2
		0		2
а)			б)
Схема цепи (а) и форма входного напряжения (б) к примеру

Решение

1. Воспользуемся данными табл. 1 (функция f8 (x) ) и представим напря-

жение источника в виде ряда Фурье, ограниченного постоянной составляющей и тремя первыми гармониками

e(t) E	E	m1	sin ωt E	m2	cos2ωt E	m4	cos4 t E	0	e (t) e		(t) e (t)
0		m1	1	m2	1	m4	1	0	1	2	4

31,8 50sin100t 21,2cos 200t 4,2cos 400t

31,8 50sin100t 21,2sin(200t 90 ) 4,2sin(400t 90 ). [B]

2. Построим графики спектров амплитуд и начальных фаз напряжения источника, которые изображены на рис. 4.3 а, б. При построении графиков используем масштаб, при котором одно деление по оси ординат соответствует 10 В, а по оси абсцисс – 100 Гц.

Emk

Em1

–30

Em2

–60o

Em4

–90o

0 1

21 31 41

а)

б)

Рис. 4.3. Спектры амплитуд (а) и фаз (б) входного сигнала к примеру

3. Теперь выполним расчет напряжения на нагрузке, используя для этого

метод комплексных амплитуд.

Для постоянной составляющей напряжения на нагрузке, используя схему

замещения, приведенную на рис. 4.4 а, получим следующее значение

UН0 E0

31,8 [В].

При выполнении этого расчета учтено, что на постоянном токе индуктив-

ности L1 , L3

нужно заменить перемычками, а емкость C2

– разрывом цепи, как

показано ниже на рисунке. Ток в нагрузке определим по закону Ома

IН0 UН0

/ RН 31,8/10 3,18 [А].

При расчете напряжения на нагрузке для гармоник ЭДС e(t) источника можно пользоваться схемой замещения, приведенной на рис 4.4 б. На этой схеме все элементы цепи заменены их комплексными сопротивлениями, которые имеют двойные индексы. Первый индекс соответствует порядковому номеру ветви, а второй – номеру гармоники. Комплексные значения токов в ветвях определим по формулам

I1k Emk / Z k ,

где Z k Z1k Z 2k (Z 3k RН ) /(Z 2k Z 3k RН ) – эквивалентное комплексное сопротивление цепи для k-ой гармоники напряжения источника;

I 2k I1k (Z 3k RÍ ) /(Z 2k Z 3k RÍ ),

I Hk I1k Z 2k /(Z 2k Z 3k RÍ ),

в которых учтено, что ток I1k делится в ветвях схемы на два тока, которые обратно пропорциональны сопротивлениям ветвей.

	I0
	I0	°			I1k	Z1k	I 2k	Z 3k	I Нk
		°
E	0	°	R	E	mk		Z 2k		Rн
	0		н		mk				Rн
			R2

а) б

Рис. 4.4. Схемы для расчета постоянной (а) и переменных (б) составляющих напряжения на нагрузке

Для первой гармоники, пользуясь схемой замещения, получим напряжения на нагрузке

Em1 50[В];

Z11 Z 31

jX11

jω1L1 j10 [Ом];

Z 21 R2 jX21 (10 j100) [Ом];

R ) /(Z

R ) 23e j58o

[Ом] – сопротивления цепи для

первой гармоники напряжения источника.

Комплексная амплитуда тока первой гармоники источника имеет значение

I m1 Em1 / Z1 50/ 23e j58o 2,175e j58o [А]

Этот ток делится обратно пропорционально сопротивлениям параллельно включенных ветвей Z 2k и (Z 3k RН ) , поэтому ток в нагрузке

I mH1 I m1 Z 21 /(Z 21 Z 31 RН ) 2,175e j58o (10 j100) /(20 j90) 2,37e j 65o [А]

Комплексное значение напряжения на нагрузке определим по закону Ома

U mH1 I mН1RН 23,7e j 65o [В]

Полученное значение позволяет записать мгновенное значение первой гармоники напряжения на нагрузке

uH1(t) 23,7sin(100t 65o ) [В]

Вторую гармонику напряжения на нагрузке определим, используя в схеме замещения рис. 4.4 б сопротивления цепи и напряжение источника для второй гармоники

Em2 21,2e j90o [В]; Z12 Z 32 2 j 1L1 j20[Ом];

Z 22 R2 j /(2ω1C2 ) (10 j50) [Ом];

Z 2 Z12 Z 22 (Z 32 RН ) /(Z 22 Z 32 RН ) 47,4e j 60o [Ом].

Значение комплексной амплитуды тока второй гармоники в цепи источника напряжения найдем по закону Ома

I m2 Em2 / Z 2 21,2e j90o / 47,4e j 60o 0,45e j150o [А]

Комплексную амплитуду тока второй гармоники в нагрузке Rн найдем аналогично току первой гармоники путем деления тока источника обратно пропорционально сопротивлениям параллельно включенных ветвей

I mH2 I m2 Z 22 /(Z 22 Z 32 RН ) 0,45e j150o (10 j50) /(20 j30) 0,635e j172o [А]

Комплексное значение напряжения второй гармоники на нагрузке найдем с помощью закона Ома

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.03.201624.81 Кб53esse (3).docx
#
20.03.20169.27 Mб18et_lab_rab.doc
#
20.03.20169.5 Mб12et_lab_rab.doc
#
20.03.20164.83 Mб10et_rek_zad.doc
#
14.04.20154.15 Mб52et_rek_zad_domashnie_zadania.doc
#
21.03.20161.6 Mб9et_zad.pdf
#
23.09.2019408.58 Кб6EVM(готовое).doc
#
22.05.20151.38 Mб6Evstifeev_07-Etapy_razrabotki_KD.pdf
#
20.03.201677.82 Кб7EXBIL_ISON.doc
#
04.12.2018104.45 Кб5excel2.doc
#
06.12.2018129.54 Кб3excel2.doc