Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

et_zad

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

1.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

3. Расчет электрических цепей однофазного синусоидального тока

Методические рекомендации по выполнению задания

1. Мгновенное значение величины, синусоидально изменяющейся с течением времени

a(t) Am sin(ωt ψa ) ,

где Аm максимальное значение или амплитуда; (t+ a) фаза (фазовый угол); a начальная фаза (начальный фазовый угол); угловая частота

[рад/c].

Период T [c] , угловая частота и частота f [Гц] связаны соотношением

ω=2 f = 2T ; f = T1 .

По приведенному уравнению можно построить синусоиду и соответствующую векторную диаграмму, которая получается с учетом того, что мгновенные значения а – это проекция вращающегося вектора Аm на ось мнимых чисел.

Аналитически этот вращающийся вектор записывается как

			А		m		e j a e j t
					m
Амплитуда			Оператор поворота						Оператор вращения с
			на угол a						угловой частотой
Обозначим А e j а А		, где А		m		комплексное амплитудное значение.
m	m			m
Таким образом, а(t)=А		m	sin(t + ) = Im[ А					m	e j t].
		m					а	m

операция выделения мнимой части комплексного числа.

Метод представления синусоидальных функций времени изображениями в виде векторов на комплексной плоскости называется символическим методом или методом комплексных амплитуд.

При необходимости можно оперировать комплексным действующим значением A Am / 2 с учетом того, что действующее значение A Am / 2 .

2. Комплексные числа. Комплексное число, соответствующее точке, в которой лежит конец вектора Аm, может быть написано в следующих формах

-алгебраической Am p jq Am (cos ψa j sin ψa ) ;

-показательной

A e jψa

(в

соответствии

с формулой

Эйлера

cos ψ

j sin ψ

e jψa ).

Здесь p Am

cos ψa Re[Am ] – вещественная часть комплексного числа Аm;

q Am

sin ψa Im[Am ] – мнимая часть комплексного числа

– модуль комплексного числа А

(всегда поло-

жителен);

arctg(

)

p 0

– угол или аргумент комплексного числа.

arctg

180

p 0

e jψa называется сопряженным числу

Комплексное число

A p jq A

A p jq A e jψa .

e j

2 – мнимая единица или оператор поворота на угол

900 ;

Умножение комплексного числа Am

на число e j сводится к повороту век-

тора A

в комплексной плоскости на угол : A e j A e j a e j A e j ( a ) . При

>0 вектор

Am поворачивается против часовой стрелки, при <0 – по часовой

стрелке.

Источник

напряжения

с ЭДС e(t) Em sin(ωt ε)

можно полностью охарактеризовать, задав комплексную ам-

плитуду ЭДС

E e jε

или комплексное действующее зна-

чение ЭДС E Ee jε

( E E /

2 ).

4. Пассивный элемент электрической цепи определяет-

ся комплексным сопротивлением Z ze j - комплексным числом,

равным отношению комплексного напряжения на зажимах дан-

ного элемента к комплексному току этого элемента

Z U

R jX Ze j ,

Где U и I – комплексные действующие значения напряжения и тока;

R – вещественная часть комплексного сопротивления Z или активное

сопротивление цепи;

X – мнимая часть Z или реактивное сопротивление цепи, составленное

из индуктивного

X L ωL

и емкостного

XC 1/ ωC сопротивле-

ний;

Z – модуль комплексного сопротивления цепи или полное сопротивле-

ние цепи;

– аргумент Z , равный углу сдвига фаз между током и напряжением. 52

Отношение комплексного тока в данной цепи к комплексному напряжению на её зажимах называется комплексной проводимостью электрической цепи

Y UI G jB Ye j Z1 .

Таким образом, от комплексного сопротивления Z можно всегда перейти к комплексной проводимости Y, пользуясь соотношениями

; X

;

Y 2

G2 B2

Y 2

; B

X 2

Z 2

R2 X 2

Z 2

6. Закон Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС, имеет вид

UUab I Z .

7.Законы Кирхгофа. Для записи уравнений на основании законов Кирхгофа надо выбрать положительные направления для всех токов и обозначить их на схеме.

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме в применении к узлу электрической цепи имеет вид

Ik 0 ,

k 1

При записи этого уравнения токи, направленные к узлу, следует записать со знаком плюс, а направление от узла – со знаком минус (или наоборот).

Второй закон Кирхгофа применяется к замкнутому контуру цепи и имеет вид

n	n
I k Z k Ek
k 1	k 1

где Ek – алгебраическая сумма комплексных ЭДС источников напряже-

k 1

ния. Со знаком плюс записываются те из них, положительные направления которых совпадают с выбранным направлением обхода контура; ЭДС, имеющие направления, противоположные обходу контура, записываются со знаком минус;

n
	Ik Z k	– падения напряжений на комплексных сопротивлениях Z от-
k 1

дельных участков. Со знаком минус берутся те, для которых направление тока противоположно направлению обхода контура.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует выбирать независимые контуры, не содержащие источников тока.

8. Последовательное и параллельное соединение сопротивлений. При последовательном соединении участков цепи комплексное эквивалентное сопротивление равно сумме комплексных сопротивлений отдельных участков

Z Z k

k 1

При параллельном соединении ветви цепи комплексная эквивалентная проводимость равна сумме комплексных проводимостей ветвей

Y Y k

k 1

В частном случае двух параллельно соединенных сопротивлений Z1 и Z2 эквивалентное комплексное сопротивление

Z1 Z 2

Комплексные токи, протекающие в каждой из двух параллельных ветвей,

могут быть рассчитаны через комплексный ток I в неразветвленной части цепи

и комплексные сопротивления ветвей по формулам

Z 2

;

Z 2

9. Комплексная мощность

jQ Se j ,

S U I UI cos jUI sin P

где S = UI – полная мощность; P Re S UI cos Q Im S UI sin – актив-


ная и реактивная мощность; Q Im S UI sin – реактивная мощность; I –
сопряженный комплекс тока;		–угол сдвига фаз между током и напряжением.
10. Баланс мощностей
	n	n
				2		2
	Ek I k Ik				rk	jIk	xLk xCk ,
	k 1	k 1
n
здесь Ek I k S – алгебраическая сумма мощностей всех источников ЭДС;
k 1
положительны те из слагаемых, для которых направление действия ЭДС
Ek	и соответствующего тока		Ik через ЭДС совпадают, в противном слу-

чае слагаемое отрицательно;

Ik 2rk P – алгебраическая сумма мощностей на активных сопротив-

лениях; здесь должны быть учтены как внешние сопротивления, так и сопротивления самих источников энергии;

n		n
Ik	2 xLk	Ik	2 xCk	Q – алгебраическая сумма мощностей на реактив-
k 1		k 1

ных сопротивлениях.

11. При расчете цепей переменного тока посредством комплексных чисел остаются справедливыми все методы расчета, применяемые для расче-

та цепей постоянного тока. При этом во всех уравнениях, приведенных в разделе 1, все ЭДС, напряжения, токи, сопротивления и проводимости должны быть записаны в комплексной форме.

ЗАДАЧА 3.1
uL	uR	uC	U mL		U mC
L	R	C	jxL	R	jxC
		uRC	к		U mR
e		uRC	к
e			Em		U mRC
	i			I m	U mRC
	i			I m
Дано: uRC (t) 22,64sin(100t 82o ) В; R=4 Ом; L = 70 мГн; C = 2500 мкФ.

Найти: неизвестные токи, напряжения, проверить соблюдение баланса мощностей.

Решение:

Определяем реактивные сопротивления элементов цепи и представляем их, а также заданное мгновенное значение uRC (t) , комплексными числами

xL L 100 0,07 7 [Ом]	Z L j L jxL j7 [Ом];
x 1/ C 106 /(100 2500) 4	[Ом] Z	C	1/ j C jx	j4 [Ом];
C		C	C
uRC(t) = 22,64sin(100t 82 ) [B]	U mRC 22,64e j82o			[В].

Решение задачи с помощью закона Ома

Зная напряжение U mRC , найдем ток I m через сопротивление этого участка Z RC , используя закон Ома


Z	RC	R Z	C		R jx		4 4 j 4	2 e j 45	5,65e j 45 [Ом];
	RC		C			C
		U mRC		22,64e		j82o	4e j37o [А].
I m		U mRC		22,64e
I m						o
		Z RC		5,65e j 45

Все элементы цепи соединены последовательно, поэтому через них течет одинаковый ток I m . Тогда напряжения на них выразим как

U mC Z C I m jxC I m j4 4e j37o 4e j90o 4e j37o 16e j127o [В];

U	mR	R I		m	R I		m	4 4e j37o 16e j37o [В];

U	mL	Z	L	I	m	jx I			m	j7 4e j37o 7e j90o 4e j37o 28e j53o	[В].
							L

ЭДС Em определим через ток I m и общее сопротивление Z общ

Z общ R Z C Z L R jxC jxL 4 4 j 7 j 4 3 j 5 e j36,86 [Ом]; Em I m Z общ 4e j37o 5e j36,86o 20e j 0,13o 20 [В].

К аналогичному результату можно прийти, используя при решении II закон Кирхгофа. Для контура «К»

Em U mL U mRC 28e j53o 22,64e j82o 16,85 j22,36 3,15 j22,4220 j0,06 20 [В].

Рассчитаем действующие значения токов и напряжений

I Im / 2 4 / 2 22 [А]; UL UmL / 2 28/ 2 142 [В]; UR UmR / 2 16 / 2 82 [В]; UC UmC / 2 82 [В];

E Em / 2 20 / 2 102 [В].

Активную или среднюю мощность, потребляемую цепью, можно рассчитать с учетом действующего значения тока

P I 2 R Im2 R2 16 42 32 [Вт].

Реактивная мощность, запасаемая цепью

Q I 2 хL I 2 хC Im2 x2L Im2 x2C 16 72 16 24 24 [Вар].

Баланс электрических мощностей определим из формулы для комплексной мощности

	*
	S E I	10 2 2 2e j37o 32 j24 P jQ [ВА],
*	*
где I	I m / 2 - комплексно сопряженное действующее значение тока.

Векторная диаграмма, которая соответствует расчетным значениям, приведена ниже.

Запишем комплексы амплитудных значений тока и напряжений в виде мгновенных значений

i(t) 4sin(100t 37o ) [A];		u	(t) 16sin(100t 127o ) [В];
		C
uR (t) 16sin(100t 37o ) [В];			uL (t) 28sin(100t 53o ) [В]; e(t) 20 [В].
Изобразим эти переменные на временной плоскости
i[А], u[В]
	uL(t)	uC(t)
20		uC(t)
uR(t)
	i(t)
0			t,c

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

ЗАДАЧА 3.2

	a				a		a
	a
		Z				Z L
L	uab	Z	L		U mab	Z L	I m1
			L
				R
	R			R

		C	к1		к2	Z C	U mab	Z ab
							U mab
e			Em				Em
i1	i2	i3	I m1	b	I m2	I m3	I m1	b
	b			b				b

Дано: uab(t) = 10 sin(100t 90 ) [B]; R = 1 [Ом]; L = 0,01 [Гн]; C = 0,01 [Ф].

Найти: неизвестные токи, напряжения, проверить соблюдение баланса мощностей.

Решение:

Представляем сопротивления элементов и мгновенные значения e(t), u(t), i(t) комплексными числами и рисуем схему замещения, заменяя элементы их комплексными сопротивлениями

Х L L 100 0,01 1 [Ом]	Z L j1;
ХC 1/ C 1/(100 0,01) 1[Ом] Z C j1;
uab(t) = 10 sin(100t 90 ) [B]	U mab 10e j90o ;
i(t) I m ; e(t) Em .

Решение с помощью закона Ома

Поскольку нам известно напряжение U mab , найдем ток I m1 на этом участке через сопротивление Z ab

R Z

e j90

Z ab

0, 707e j 45 .

R Z C

2 e j 45

I m1

U mab

10e j90o

14,14e j 45o

Z ab

0, 707e j 45

Учитывая, что U mab U mR U mC , можно определить токи через R, C

I m2

=U mab /R=10e –j90 /1=10e –j90 ;

I m3 =U mab /-jХC =10e –j90 /-j1= 10;

-j1=e –j90 .

Зная ток I m1

через ЭДС, можно определить ее величину

Z Э

Z L Z ab

j 1 j

0, 707e j 45 ;

2e j 45

1 j

= I

= 14,14e j 45o 0, 707e j 45

10 .

Напряжение U mL

также находится через ток на индуктивности I m1

U mL = I m1 jХL

=14,14e-j4574 j1= 14,14ej45 ;

j1=e j90 .

Записываем мгновенные значения величин, не забывая о ранее опущенном операторе e j100t

i1(t) = Im[ I m1 ej100t ] = Im[14,14e-j45 ej100t] = 14,14 sin(100t 45 ) [A];

i2(t) = Im[ I m2 ej100t ] = Im[10e-j90 ej100t] = 10sin(100t 90 ) [A];

i3(t) = Im[ I m3 ej100t ] = Im[10ej0ej100t] = 10 sin(100t ) [A];

uR(t) =uC(t) =uab(t)= Im[U mab ej100t ]=Im[10e-j90 ej100t] =10 sin(100t 90 ) [B].

uL(t) = Im[U mL ej100t ] = Im[14,14ej45 ej100t] = 14,14 sin(100t+ 45 ) [B].

e(t) = Im[ Em ej100t ] = Im[10ej100t] = 10 [B].

Векторную диаграмму предпочтительно

строить в такой последовательности:

U mR

- за базовый вектор принимают вектор U ;

U mL

mab

- вектор I m2 через R образует с вектором

U mab нулевой угол;

I m3

- вектор I m3 через С образует с вектором

U mab угол -90 ;

-45

- вектор I m1 определяется геометрической

-90

суммой векторов I m1 I m2 I m3 ;

mab

I m2

I m1

- вектор U mL на L опережает вектор I m1 на 90 .

- если вектор U mR U mab перенести в конец

Bвектора U mL , то сумма этих векторов должна дать вектор Em

Из данного построения следует выполнение законов Кирхгофа для узла b и для контура к1 , что говорит о правильности решения. Масштаб: AB = 10[B] или 10[A].

Решение задачи с помощью законов Кирхгофа Как и в предыдущем методе, перерисовываем схему, представляя элемен-

ты их комплексными сопротивлениями. Количество уравнений должно равняться количеству неизвестных. В данной задаче неизвестными являются токи


I m1 , I m2 ,	I m3 , а также ЭДС Em .
Зная	напряжение		U mR U mab ,	нетрудно	определить	ток
I m2 =U mab /R=10e j90 /1=10e –j90 , тем самым, сократив количество неизвестных.
Составим три уравнения по законам Кирхгофа
узел b:		I m1 I m2 I m3 0 ;
контур к1:		Z L I m1 RI m2 Em ;
контур к2:		RI m2 Z C I m3	0 .

Все неизвестные переносим влево, а известные – вправо

I m1 I m3 0 Em I m2 ; Z L I m1 Em RI m2 ;

0 I m1 Z C I m3 0 Em RI m2 .

Подставив значения величин в систему уравнений, записываем ее в матричной форме

1	1	0	I m1

		1	I m3
j1 0		1	I m3
0	j1	0		Em
				Em

	10e j90O
			O
10e j90
	10e j90	O
	10e j90

Решая систему, находим I	m1	14,14e j 45o ; I	m3	= 10; E	m	= 10.
	m1		m3		m

Проверим решение с помощью баланса мощностей. Для этого найдем мощность источника ЭДС, представив в алгебраической форме записи комплексного числа

*	(10 14,14e j 45o ) / 2	70, 7e j 45o 50 j50
S Em I m1/ 2

Активную и реактивную мощности найдем через токи на соответствующих элементах

P Im2 R 50 1 502

X L

XC 100 50 50

Таким образом, мы получили тождество S P jQ , что свидетельствует о выполнении баланса мощностей.

ЗАДАНИЕ 3.1
Последовательная цепь переменного тока (рис. 3.1.1, 3.1.2) составлена ис-
точником ЭДС, резистивным, индуктивным и ёмкостным элементами, парамет-
ры которых указаны в таблицах 3.1.1 … 3.1.4.
uR(t)				uRL(t)		uC(t)
R	L			L	R	C

		uLC(t)	e(t)
e(t)				uL(t)	uRC(t)
	C
i(t)				i(t)

Рис. 3.1.1					Рис.3.1.2

1.Рассчитать комплексные амплитуды ЭДС источника, тока и напряжений на элементах; одна из перечисленных величин задана в функции времени.

2.Определить мгновенные значения тока и напряжений.

3.Определить действующие значения тока и напряжений.

4.Определить активную, реактивную и полную мощности. Убедиться в том, что выполняется баланс мощностей.

5.Построить в масштабе векторную диаграмму тока и напряжений для амплитудных значений величин.

6.Представить ток и напряжения графически в подходящем масштабе.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.03.201624.81 Кб53esse (3).docx
#
20.03.20169.27 Mб18et_lab_rab.doc
#
20.03.20169.5 Mб12et_lab_rab.doc
#
20.03.20164.83 Mб10et_rek_zad.doc
#
14.04.20154.15 Mб52et_rek_zad_domashnie_zadania.doc
#
21.03.20161.6 Mб9et_zad.pdf
#
23.09.2019408.58 Кб6EVM(готовое).doc
#
22.05.20151.38 Mб6Evstifeev_07-Etapy_razrabotki_KD.pdf
#
20.03.201677.82 Кб7EXBIL_ISON.doc
#
04.12.2018104.45 Кб5excel2.doc
#
06.12.2018129.54 Кб3excel2.doc