В уравнении Лагранжа

где кинетическая энергия T должна быть найдена в виде функций фазовых переменных, T =T (ω,ϕ), а обобщенная сила Q – в виде функций фазовой ко-

ординаты Q =(ϕ) (в более сложных задачах имеем Q(ϕ,ω,t).

В данной теме двойная кинетическая энергия механизма приводится к следующей структуре:

где по рисунку 5.1 определяем постоянный коэффициент, именуемый приведенным моментом инерции J механизма. Он является угловой мерой инертности механизма.

5.1.1 Потенциальная энергия и обобщенная сила механизма

Обобщенная сила Q представляет собой частное от деления мощности системы приложенных сил на обобщенную скорость ϕ =ω.

Мощность в общем случае состоит из скалярных произведений сил на скорости их точек приложения, а также из моментов приложенных пар сил, скалярно умноженных на угловые скорости соответствующих звеньев:

тела, к которому приложена пара сил с моментом M j . Если все силы потен-

циальны и найдена их потенциальная энергия П(ϕ), то можно вместо формулы (5.4) применить другую формулу:

5.1.2.Математическая модель движения механизма

Вданных задачах коэффициент инерции J получается постоянным, не зависящим от угловой обобщенной координаты φ, т.е. J = const . Поэтому уравнение Лагранжа (5.1) упрощается, принимая вид

или

75

т.е. угловое ускорение ϕ =ω прямо пропорционально обобщенной силе с не-

которым постоянным коэффициентом пропорциональности b , называемым

обратным приведенным моментом инерции механизма.

Таким образом, составление дифференциального уравнения движения второго порядка вида (5.6) сводится к вычислению коэффициента b и обоб-

Математическая модель движения состоит из однородного дифференциального уравнения (ОДУ) вида (5.6) и начальных условий к нему, т.е. начального состояния механизма:

В данном случае по условию задачи имеем ω0 =0, а также ϕ0 = 0, если угол ϕ отсчитывать от такого положения, при котором пружина была не деформирована.

Замечание 1 В более сложном случае, когда имеем переменный коэффициент инерции J = J (ϕ), в уравнении (5.6) добавляется нелинейное слагаемое:

Замечание 2 Динамическое уравнение одностепенной системы со стационарными связями можно также получать из дифференциального урав-

нения энергии вида T = P , где P - мощность системы приложенных сил, точнее из уравнения T / q =Q .

5.2 Задание 5. Линейные колебания одностепенной механической системы

Кинематика

Изобразим механизм (рис. 5.1) в движении, т.е. в «положительной» фазе, когда обобщенная координата ϕ > 0 обобщенная скорость ϕ > 0 . Выразим

скорость через обобщенную скорость, перемещение через обобщенную координату ϕ методом интегрирования формул для скоростей, изложенный

ниже.

Из рис. 5.1, а также условий нерастяжимости и непроскальзываемости троса, получаем кинематические выражения:

76

Двойная кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий: поступательного движения груза 2T1 = m1v2 = m1r22ω2 ; вращательного

движения блока 2T2 = m2i22ω2 ; плоского движения колеса, состоящего из по-

ступательного движения вместе с центром масс и вращательного движения колеса вокруг центра масс:

2T3 = m3v32 + m3i32ω2 = m3 (r22 +i32 )ω2

Двойная кинетическая энергия механизма равна:

2T = 2(T1 +T2 +T3 ) =(m1r22 + m2i22 + m3 (r22 +i32 ))ω2

Приведенный момент инерции механизма есть множитель при квадрате

Из последнего выражения видим, что J = const , тогда уравнение Лагранжа будет иметь упрощенный вид (5.6)- (5.7).

Определение обобщенной силы методом мощности

Изобразим на рисунке 5.1 приложенные силы тяжести звеньев G1 , G2 , G3 , упругую силу пружины F =−csi , где s – деформация пружины, а также

реакции связей N2 , N3 , которые не имеют мощности (связи являются иде-

альными) и в дальнейшем не принимаются во внимание. Вычислим мощность системы сил:

P =G1 v1 +G2 O +G3 v3 + F v3 +(N2 O + N3 O),

отсюда

P =G1v +G3v cos π2 + β −csv = (m1gr2 −m3g sin βr2 −cr2ϕ)ω = (mg −cϕ)r2ω

при m = m1 −m3 sin β .

Коэффициент Q = ωP в выражении мощности при обобщенной скорости

представляет собой обобщенную силу системы приложенных к механизму сил, т.е. меру эффективности сил.

Здесь мы не использовали понятие потенциальной энергии сил тяжести и упругости.

77

Определение обобщенной силы методом потенциальной энергии

Потенциальной энергией механизма в его произвольном положении, определяемом обобщенной константой q , называется функция П(q), равная

работе всех действующих на механическую систему потенциальных сил при перемещении системы из произвольного положения q в «нулевое» положе-

ние q = 0, либо - в какое-либо другое выбранное положение q = q0 . Потенци-

альная энергия характеризует способность сил совершать работу на таком перемещении. Ее можно определять с точностью до аддитивной константы, т.е. можно отбрасывать или добавлять любую константу. Это объясняется тем, что в уравнение Лагранжа потенциальная энергия входит лишь в виде производной ∂Π / ∂q , а при дифференцировании константы исчезают.

Переведем условно механизм из произвольного положения в «нулевое», в котором пружина не деформирована, и подсчитаем работу приложенных сил, которая принимается за потенциальную энергию системы сил в произвольном положении. Работа силы тяжести равна произведению этой силы на падение высоты, для груза работа отрицательна, так как груз подни-

.

Результат совпадает с выражением для Q , полученным методом мощно-

сти (5.11).

Определение положения равновесия и решение дифференциального уравнения движения системы

Подставим величину (5.11) в уравнение (5.7). Получим

ϕ +bcr2ϕ =(m1 −m2 sin β)r2 g

где k = bcr2 , h =(m1 −m2 sin β)r2 gb .

Будем считать, что m1 ≥ m2 sin β , т.е. h ≥ 0.

К линейному неоднородному уравнению второго порядка (5.12) присоединяем заданные начальные условия, характеризующие предысторию движения:

78

т.е. переносим начало отсчета координаты в статическое положение ϕст . Получим однородное уравнение для нового угла поворота ψ , который

отсчитывается от положения равновесия. Получаем начальную задачу для

где

2

A = ψ02 + wk0 - амплитуда колебаний

α=sgn(w0 )arccos ψ0 – начальная фаза колебаний

A

k– циклическая частота колебаний

τ= 2kπ - период колебаний, ν = 2kπ (Гц) – частота колебаний.

При заданных начальных условиях получаем

ψ = −kh2 coskt = kh2 cos(kt −h)

Исходные данные для выполнения самостоятельной работы

Необходимо построить и решить динамическое уравнение колебаний одностепенной механической системы. Исходная схема механической системы для самостоятельного выполнения задания приведены в таблице 5.1. в соответствии с номером варианта. Жесткость с пружины, внутренние и наружные радиусы ri , Ri блоков, геометрический размер l стержней, массы mi всех

звеньев, радиусы инерции i блоков считать известными, не отмеченные номерами соединительные стержни считать невесомыми. Задачу решать в символьном виде.

79

Дано: m1, m2, m3, m4 ; r2, i2, r4, i4, l ; c. Дано: m1, m2, m3; r2, i2, R3, r3, i3; c.

Дано: m1, m2, m4; r2, i2, r4, i4; c. Дано: m1, m2, m3; r2, i2, R3, r3, i3; c.

80

Дано: m1, m2, m3; r2, i2, R3, r3, i3; c. Дано: m1, m2, m4; r2, i2, r4, i4; c.

81

Дано: m1, m2, m4; r2, i2, r4, i4; c. Дано: m2, m4; r2, i2, r4, i4; c.

82