3. Расчет электрических цепей однофазного синусоидального тока

Методические рекомендации по выполнению задания

1. Мгновенное значение величины, синусоидально изменяющейся с течением времени

,

где А_m максимальное значение или амплитуда; (t+_a)фаза (фазовый угол);_a  начальная фаза (начальный фазовый угол);   угловая частота [рад/c].

Период T[c] , угловая частота и частотаf [Гц] связаны соотношением

; .

По приведенному уравнению можно построить синусоиду и соответствующую векторную диаграмму, которая получается с учетом того, что мгновенные значения а– это проекция вращающегося вектораА_mна ось мнимых чисел.

Аналитически этот вращающийся вектор записывается как

А_m e ^ja e ^jt

Амплитуда Оператор поворота Оператор вращения с

на угол _a угловой частотой 

Обозначим , гдекомплексное амплитудное значение.

Таким образом, а(t)=А_m sin(t +_а) =Im[ e^jt].

операция выделения мнимой

части комплексного числа.

Метод представления синусоидальных функций времени изображениями в виде векторов на комплексной плоскости называется символическим методом или методом комплексных амплитуд.

При необходимости можно оперировать комплексным действующим значением с учетом того, что действующее значение .

2. Комплексные числа. Комплексное число, соответствующее точке, в которой лежит конец вектораА_m, может быть написано в следующих формах

-алгебраической ;

-показательной (в соответствии с формулой Эйлера ).

Здесь – вещественная часть комплексного числаА_m;

– мнимая часть комплексного числа А_m;

– модуль комплексного числаА_m(всегда положителен);

– угол или аргумент комплексного числа.

Комплексное число называется сопряженным числу .

– мнимая единица или оператор поворота на угол ;

Умножение комплексного числа на число сводится к повороту вектора в комплексной плоскости на угол : .При>0 вектор поворачивается против часовой стрелки, при<0 – по часовой стрелке.

3. Источник напряженияс ЭДС можно полностью охарактеризовать, задав комплексную амплитуду ЭДС или комплексное действующее значение ЭДС ().

4. Пассивный элемент электрической цепиопределяется комплексным сопротивлением - комплексным числом, равным отношению комплексного напряжения на зажимах данного элемента к комплексному току этого элемента

,

Где и– комплексные действующие значения напряжения и тока;

R– вещественная часть комплексного сопротивленияили активное сопротивление цепи;

X– мнимая частьили реактивное сопротивление цепи, составленное из индуктивного и емкостного сопротивлений;

Z – модуль комплексного сопротивления цепи или полное сопротивление цепи;

 – аргумент , равный углу сдвига фаз между током и напряжением.

Отношение комплексного тока в данной цепи к комплексному напряжению на её зажимах называется комплексной проводимостьюэлектрическойцепи

.

Таким образом, от комплексного сопротивления Zможно всегда перейти к комплексной проводимостиY, пользуясь соотношениями

;

.

6. Закон Омадля участка цепи, не содержащего ЭДС, имеет вид

.

7. Законы Кирхгофа. Для записи уравнений на основании законов Кирхгофа надо выбрать положительные направления для всех токов и обозначить их на схеме.

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме в применении к узлу электрической цепи имеет вид

,

При записи этого уравнения токи, направленные к узлу, следует записать со знаком плюс, а направление от узла – со знаком минус (или наоборот).

Второй закон Кирхгофа применяется к замкнутому контуру цепи и имеет вид

где – алгебраическая сумма комплексных ЭДС источников напряжения. Со знаком плюс записываются те из них, положительные направления которых совпадают с выбранным направлением обхода контура; ЭДС, имеющие направления, противоположные обходу контура, записываются со знаком минус;

– падения напряжений на комплексных сопротивленияхотдельных участков. Со знаком минус берутся те, для которых направление тока противоположно направлению обхода контура.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует выбирать независимые контуры, не содержащие источников тока.

8. Последовательное и параллельное соединение сопротивлений.При последовательном соединении участков цепи комплексное эквивалентное сопротивление равно сумме комплексных сопротивлений отдельных участков

При параллельном соединении ветви цепи комплексная эквивалентная проводимость равна сумме комплексных проводимостей ветвей

В частном случае двух параллельно соединенных сопротивлений иэквивалентное комплексное сопротивление

.

Комплексные токи, протекающие в каждой из двух параллельных ветвей, могут быть рассчитаны через комплексный ток в неразветвленной части цепи и комплексные сопротивления ветвей по формулам

.