8

>3x1 + x2 > 9

<

x1 + 2x2 > 8

>

:x1 + 6x2 > 11

x1 > 0 x2 > 0 4x1 + 6x2 = 0 x1 = 3 x2 = 2 c1 = 4 c2 = 6

градиент N(2; 3)

Минимум целевой ф-и достигается в точке B Определяем координаты точки B

(

3x1 + x2 = 9 = 2 x1 + 2x2 = 8

(

x1 = 2 x2 = 3

f = 4x1 + 6x2

27 Симплексный метод решения задач ЛП

Для решения задачи ЛП необходимо исследовать только угловые точки многогранника решений т.е. опорные планы. Кол-во опорных планов велико. При больших n и m найти оптимальный план путем прямого путем последовательного перебора всех опорных планов практически невозможно. Для решения нужен метод целенаправленного перебора всех опорных планов. Таким методом является симплексный метод.

Алгоритм метода включает:

1.определение (построение) первоначального опорного плана

2.проверка оптимальности найденного опорного плана

3.если найденный опорный план не оптимален, то с помощью специальных вычислительных процедур переходят к новому опорному плану и затем к пункту 2. Процесс продолжается до получения оптимального плана

27.1Построение опорных планов

Предположим, что система (8:5) содержит n единичных векторов и пусть единичными являются первые m векторов, тогда задачу (8:4) (8:5) можно записать в виде

f = c1x1 + c2x2 + ::: + cnxn (8:6)

при ограничениях

52

8

>x1 + a1;m+1xm+1 + ::: + a1nxn = b1

>

>

<x2 + a2;m+1xm+1 + ::: + a2nxn = b2

(8:7)

>:::

>

>

:xn + an;m+1xm+1 + ::: + annxn = bn

xj > 0 j = 1; 2; :::; n (8:8)

где все bi > 0 i = 1; 2; :::; n

Запишем систему (8:7) в векторной форме

x1A1 + x2A2 + ::: + xmAm + xm+1Am+1 + ::: + xnAn = A0 (8:9)

где

Векторы A1; :::; Am линейно-независимые единичные векторы m-мерного пространства, поэтому они образуют базис

Определение. Неизвестные xj, которые являются множителями при векторах базиса в разложении (8:9) будем называть базисными неизвестными. Остальные неизвестные xj будем называть внебазисными или свободными неизвестными.

Выбирая в кач-ве неизвестных x1; :::; xm. Свободные неизвестные xm+1; :::; xn приравниваем к 0. Учитывая, что в системе ограничений (8:7) все правые части bi > 0, а векторы A1; :::; Amединичные, то получим первоначальный опорный план

X(0) = (x1 = b1; :::; xm = bm; xm+1 = 0; :::; xn = 0) (8:10)

Плану (8:10) соотвествует разложение

x1A1 + x2A2 + ::: + xmAm = A0 (8:11)

Рассмотрим вопрос о том, как от первоначального опорного плана (8:10) перейти ко второму (следующему) опорному плану. Так как векторы A1; :::; Amобразуют базис, то каждый из векторов в соотношении (8:9) можно разложить по векторам этого базиса. Получим

m

P

Aj = xijAi i = 1; 2; :::; n

j=1

Пусть j = m + 1. Тогда при таком j получим

x1;m+1A1 + x2;m+1A2 + ::: + xm;m+1Am = Am+1(8:12)

Предположим, что в разложении (8:12) хотя бы один из коэффициентов xi;m+1 > 0. Зададимся величиной > 0. Умножим (8:12) на и вычтем почленно из равенства (8:11). Получим:

(x1 x1;m+1)A1 + (x2 x2;m+1)A2 + ::: + (xm xm;m+1)Am + Am+1 = A0 (8:13)

Следовательно вектор

X(1) = (x1 x1;m+1; x2 x2;m+1; :::; xm xm;m+1; ; 0; :::0)

будет решением или планом задачи (8:6) (8:8) если его компоненты неотрицательны. Так как > 0, то все компоненты вектора X(1) в которых xi;m+1 < 0 будут неотрицательными. Поэтому рассмотрим только компоненты, включающие положительные xi;m+1. Определим такое > 0 при котором для всех xi;m+1 > 0 выполняются неравенства

xi xi;m+1 > 0 (8:14)

53

Из (8:14) следует, что

где минимум берется по все индексам i, для которых xi;m+1 > 0

Однако опорный план не может содержать более m + 1 положительных компонент, поэтому в плане X(1) необходимо обратить в 0 хотя бы одну из компонент. Пусть эта компонента стоит на первом месте. Т.е.

x02A2 + x03A3 + ::: + x0mAm + x0m+1Am+1 = A0

которому соотвествует новый опорный план

X(1) = (0; x02; x03; :::; x0m; x0m+1; 0; :::; 0)

где

x0i = xi 0xi;m+1i = 2; 3; :::; m

x0m+1 = 0

Следовательно, процесс получения новых опорных планов заключается в выборе вектора, который подлежит включению в базис и определению вектора, подлежащего исключению из базиса.

27.2Отыскание оптимального плана. Условия оптимальности

Предположим, что каждый опорный план задачи (8:6) (8:8) невырожден (ровно m положительных компонент), тогда для опорного плана (8:10) имеем разложение

x1A1 + x2A2 + ::: + xmAm = A0(8:19)

x1c1 + x2c2 + ::: + xmcm = f(X(0)) (8:20)

где все xj > 0.

Разложение любого вектора Aj по векторам данного базиса A1; :::; Am имеет вид

x1jA1 + x2jA2 + ::: + xmjAm = Aj j = 1; 2; :::; m (8:21)

Подставим коэффициенты x1j; x2j; :::; xmjиз выражения (8:21) в (8:20) вместо неизвестных x1; x2; :::; xm. Получим

x1jc1 + x2jc2 + ::: + xmjcm = fj (8:22)

Док-во. Умножим (8:21) и (8:22) на некоторую величину > 0 и вычтем соотвественно из (8:19) и (8:20). Получим

(x1 x1j)A1 + (x2 x2j)A2 + ::: + (xn xnj)An + Aj = A0 (8:23)

(x1 x1j)c1 + (x2 x2j)c2 + ::: + (xn xnj)cn + cj = f(X(0)) (fj cj) (8:24)

В (8:24) к обеим частям прибавлены слагаемые cj. Так как в (8:23) все неизвестные x1; x2; :::; xm положительны, то можно выбрать такое > 0, что все коэффициенты при векторах A1; A2; :::; Am; Aj будут неотрицательными. Тогда получим новый опорный план

X = (x1 x1j; x2 x2j; :::; xm xmj; ; 0; :::; 0)

54