22.1Метод внешних штрафных функций

Основная идея метода заключается в сведении исходной задачи f(x) ! inf на некотором x 2 X (5.1) к

k(x) ! inf x 2 U0 k = 1; 2; ::: (5:2)

где k(x) - некоторая вспомогательная ф-я, а множество X U0. При этом ф-я k(x) подбирается так, чтобы она с ростом номера k мало отличалась от исходной ф-ий f(x) на множестве X и быстро возрастала на множестве

U0 X

Определение 5.1 Последовательность ф-ий

fPk(x)g k = 1; 2; :::

определенных и неотрицательных на множестве U0, содержащем X называют штрафом или штрафной ф-ей множества X на множестве U0 если

Для любого множества X 2 Enможно указать сколь угодно много штрафных ф-ий. Например, если fAkg - какая-либо положительная последовательность и

lim Ak = +1

x!1

можно взять следующую ф-ю

Pk(x) = Ak (x; X)

(x; X) - расстояние от x до множества X т.е.

(x; X) = inf jx vj

v2X

Допустим, что некоторое множество U0 содержащее допустимое множество X, а так же штрафная ф-я fPk(x)g множества X на множестве U0 уже выбраны. Предполагаем, что ф-я f(x) определена на множестве U0. Введем ф-и

k(x) = f(x) + Pk(x) (5:3)

где x 2 U0 k = 1; 2; :::

И рассмотрим последовательность задач (5:2) с функциями (5:3) Будем считать, что некое значение

k = inf k(x) < +1 (5:4)

U0

Если при каждом k нижняя грань достигается, то условия

k(xk) = k x 2 U0 (5:5)

определяет последовательность fxkg. Однако точно определить xk из условия (5:5) удается лишь в редких случаях. Кроме того, нижняя грань в (5:4) при некоторых индексах k, а может и при всех индексах k может и не достигаться. Поэтому будем считать, что при каждом индексе k = 1; 2; 3:::: с помощью какого-либо метода минимизации найдется точка xk, определяемая условиями

(

xk 2 U0

(5:6)

k(xk) 6 k + "k

где f"kg- некоторая заданная последовательность, причем

"k > 0 k = 1; 2; ::: lim "k = 0

k!1

42

22.1.1Функции внешних штрафов для множества X, определяемого ограничениями-равенствами и ограничениями-неравенствами

Так как

lim Pk(x) = 0

k!1

при x 2 X, то можно ожидать, что для широкого класса задач (5:1) последовательность fxkg, определяемая условиями (5:6) будет приближаться к множеству X и будут справедливы равенства

lim f(xk) = f

k!1

а расстояние

lim (xk; X ) = 0

k!1

Ограничимся рассмотрением задачи (5:1) для случая, когда множество

X = x 2 En : x 2 U0; gi(x) 6 0; i = 1; k; gi(x) = 0; i = k + 1; m (5:7)

где U0заданное множество из пространства En(в частности U0совпадает с En), а ф-и

gi(x) i = 1; n

определены на U0. В кач-ве штрафной ф-и (5:7) возьмем

Pk(x) = AkP (x) (5:8 )

где Ak > 0 при всех k и lim Ak = +1, а p > 1 - фиксированное число.

k!1

Если для краткости ввести ограничения

то ф-и Pk(x) и P (x), определяемые (5:8 ) и (5:8) можно записать как

Pk(x) = AkP (x)

m

P (x) = P(gi+(x))p

i=1

при x 2 U0 (5:8 )

Ф-ю f(x) можно называть штрафной ф-ей множества (5:7), подразумевая, что при умножении на

коэффициент Ak > 0 и lim Ak = +1 она превращается в штрафную ф-ю в смысле (5:1). Величины Akиз

k!1

(5:8 ) называют штрафными коэффициентами. Пример. Пусть требуется решить задачу

f(u) = x2 + xy + y2 ! inf

где

u = (x; y) 2 U0 = u = (x; y) 2 E2 : x + y 2 = 0

В кач-ве штрафной ф-и возьмем

Pk(u) = k(x + y 2)2

и положим

k(x) = x2 + xy + y2 + k(x + y 2)2

43

где u 2 U0 = E2, k = 1; 2; :::

Ф-я k(x) при каждом значении k выпукла и достигает своей нижней грани в точке uk = (xk; yk), которая определяется уравнениями. Вычисляем частные производные

(

@ k(x) = 2xk + yk + 2k(xk + yk 2) = 0

@x

@ k(x) = 2yk + xk + 2k(xk + yk 2) = 0

@y

Решая, получим

uk = (3+44kk ; 3+44kk )

k(uk) = 12k = inf k(u)

3+4k E2

uk ! u = (1; 1)

k(uk) ! 3

Покажем, что u - решение исходной задачи

f0(u ) = (3; 3)

Поскольку ф-я выпукла

< f0(u ); u u >= 3 (x 1) + 3 (y 1) = 0

где все u 2 U

В силу выпуклости U0 и ф-и f(u), точка u является точкой минимума ф-и f(u) на множестве U0. Причем

f(u ) = f = 3 = lim k(x)

k!1

Метод штрафных ф-ий сходится.

22.1.2Блок-схема алгоритма метода внешних штрафных функций

Входные параметры: f(x), штрафная ф-я P0(x), "; Выходные параметры: xk; f(xk); k

44