- •Экзаменационные вопросы
- •1 Постановка задачи. Локальные и глобальные экстремумы
- •2 Задача максимизации функции
- •3 Необходимые и достаточные условия локального экстремума. Классический метод нахождения экстремумов функций
- •3.1 Классический метод
- •4 Метод деления отрезка пополам
- •5 Метод золотого сечения
- •5.1 Модификация метода золотого сечения
- •6 Симметричные методы
- •6.1 Постановка задачи об оптимальных методах
- •6.2 Оптимальный пассивный метод для задачи А (метод равномерного перебора)
- •6.3 Оптимальный последовательный метод для задачи А (метод Фибоначчи)
- •7 Метод ломаных
- •7.1 Описание метода ломаных
- •7.2 Сходимость метода ломаных
- •7.3 Определение константы L
- •7.4 Достоинства и недостатки метода ломаных
- •9 Линейные пространства
- •10 Постановка задачи минимизации
- •12 Численные методы безусловной минимизации
- •13 Общая схема градиентого спуска
- •13.1 Градиентые методы с дроблением шага
- •13.2 Метод наискорейшего спуска
- •13.3.1 О сходимости градиентого метода
- •13.4 Методы покоординатного спуска (для отыскания безусловного экстремума)
- •13.4.1 Метод покоординатного спуска без вычисления производных
- •13.4.2 Рекомендации по применению этого метода
- •14 Относительный (условный) экстремум
- •15.1 Метод исключения
- •15.3 Метод Лагранжа
- •17 Обобщенная функция Лагранжа
- •17.1 Обобщеный метод множителей Лагранжа
- •17.2 Единственность вектора Лагранжа для нормального оптимального плана
- •18 Общая задача математического программирования
- •19 Выпуклые множества
- •19.1 Выпуклые функции
- •20 Дифференциальные условия оптимальности в задаче математического программирования
- •21.2 Метод проекции градиента
- •21.3 Проекция точки на гиперплоскость
- •21.4 Проекция точки на аффинное множество
- •21.5 Проекция точки на шар
- •21.6 Проекция точки на замкнутое полупространство
- •21.8 Метод покоординатного спуска для отыскания условного экстремума
- •22 Метод штрафных ф-ий
- •22.1 Метод внешних штрафных функций
- •22.2 Метод барьерных функций
- •22.2.1 Описание метода барьерных функций (для решения задачи 6.1)
- •23 Общая задача ЛП и ее канонические формы
- •23.1.3 Переход к эквивалентой системе неравенств
- •23.1.4 Переход от задачи минимизации к задаче максимизации
- •24 Различные формы записи задачи ЛП
- •24.1 Развернутая форма задачи ЛП
- •24.2 Векторная форма
- •24.3 Матричная форма
- •24.4 План. Опорный план. Оптимальный план
- •25 Выпуклые многогранники
- •26 Геометрическая интерпретация задачи ЛП
- •26.1 Свойства решения задачи ЛП
- •26.2 Графический метод решения задачи ЛП
- •27 Симплексный метод решения задач ЛП
- •27.1 Построение опорных планов
- •27.2 Отыскание оптимального плана. Условия оптимальности
- •27.3 Алгоритм симплексного метода. Симплексная таблица
- •27.3.1 Правила заполнения таблицы
- •27.3.2 Анализ симплексной таблицыx
- •27.3.3 Переход к новому опорному плану
- •27.3.4 Замечание к решению задачи на максимум
- •28 Методы искусcтвенного базиса
- •28.1 Метод больших штрафов
- •28.2 Двухэтапный метод
- •29 Вариация и ее свойства
- •30 Уравнение Эйлера
- •31 Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера
Часть IV
Минимизация ф-и многих переменных при ограничениях-равенствах и ограничениях-неравенствах
18 Общая задача математического программирования
ОЗМП формируется так: найти минимум ф-и f(x1; x2; :::; xn) при ограничениях
(gi(x1 |
; x2 |
; :::; xn) = 0 |
i = k + 1:::m(3:1) |
||||||
gi(x1 |
; x2 |
; :::; xn) 6 0 |
i = 1:::k |
||||||
|
|
|
|
x1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
x = |
0x2 |
2 |
P |
|
En |
||
|
|
|
BxnC |
|
|
||||
|
|
|
B |
::: |
C |
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
A |
|
|
|
|
Под множеством X будем понимать допустимое множество задачи (3:1)
X = fx 2 P jgi(x) 6 0; i = 1:::k; gi(x) = 0; i = k + 1:::mg (3:1 )
При этом условия вида
gi(x) 6 0
называют ограничениями-неравенствами, а
gi(x) = 0
ограничениями-равенствами.
Кроме того свяжем с этой задачей множество
Q = f = ( 1; :::; m) 2 Em; i > 0; i = 1:::kg (3:1 )
Множество Q состоит из всех m-мерных векторов у которых первые k-координат неотрицательны. В частности
Q = Em
если ограничения-неравенства отсутствуют, и
Q = E+m
если отсутствуют ограничения-равенства.
Определение 1. Точка x удовлетворяющая ограничениям (3:1) называется допустимой. Определение 2. Допустимая точка x доставляет условный локальный минимум ф-и f(x), если мож-
но указать такое число
" > 0
что для всех x удовлетворяющих ограничениям (3:1) и jx x j < "
имеет место неравенство
f(x) > f(x )
Определение 3. Допустимая точка x доставляет условный локальный максимум ф-и f(x), если можно указать такое число
" > 0
что для всех x удовлетворяющих ограничениям (3:1) и jx x j < "
имеет место неравенство
f(x) < f(x )
31