Методика составления уравнений состояния на основе принципа наложения

Данная методика составления уравнений состояния вытекает из разделения исходной цепи на две подсхемы:

- первая включает в себя элементы, запасающие энергию, а также нелинейные   резистивные элементы и источники питания;

-вторая охватывает линейные резистивные элементы.

Пример такого представления исходной цепи приведен на рис. 1,а, где пассивный многополюсник П соответствует второй подсхеме .

Следующий этап рассматриваемой методики заключается в замене на основании теоремы о компенсации всех конденсаторов, а также нелинейных резистивных элементов с характеристикой типа  u(i) источниками   напряжения, а     всех катушек       индуктивности и нелинейных резистивных элементов с характеристикой типа i(u) – источниками тока (рис. 1,б). В результате исходная цепь трансформируется в резистивную, в которой, помимо заданных (независимых) источников, действуют управляемые источники.

 

Рис. 1

На третьем этапе с использованием метода наложения определяются выражения входных токов и напряжений пассивного многополюсника П через напряжения и токи всех присоединенных к нему источников.

В качестве примера составим уравнения состояния для цепи на рис. 2,а и определим выражения и.

а)	б)
Рис.2

 

1. В соответствии с изложенной методикой заменим исходную цепь схемой замещения на рис. 2,б. На основании метода наложения этой схеме соответствует пять цепей, приведенных на рис. 3. С их использованием для тока =dq/dt  в ветви с конденсатором и напряженияна зажимах  катушки индуктивности запишем

(2)

 

а)

б)

в)

г)

д)

Рис. 3

 

(3)

     2. Выражение для искомого напряжения определяется согласно закону Ома:

( 4)

     На основании метода наложения с использованием расчетных схем на рис. 3 для второй искомой переменной – тока запишем

 

	( 5)

 

     3. Объединив  (2) (5)  с  учетом, получим    матричное    уравнение     вида (1):

 

=

.

 

Вектор начальных значений =.

Сравнивая в заключение рассмотренные методики составления уравнений состояния, можно отметить, что методика, основанная на использовании принципа наложения, не содержит достаточно сложного этапа исключения переменных резистивных ветвей из уравнений состояния, входящего в методику составления уравнений на основе таблицы соединений. Вместе с тем использование метода наложения для сложных цепей может также оказаться весьма трудоемкой задачей.

    

Метод дискретных моделей

Метод основан на использовании дискретных моделей индуктивного и емкостного элементов и позволяет свести численный анализ динамических процессов в нелинейных цепях к последовательному расчету на каждом шаге нелинейных резистивных цепей.

Дискретные модели вытекают из неявных алгоритмов, в частности из обратной формулы Эйлера. Эти модели, полученные на основе неявного алгоритма Эйлера, а также выражения для параметров входящих в них элементов приведены в табл. 1.

 

Таблица 1. Дискретные модели индуктивного и емкостного элементов

 

Тип элемента	Аналитические соотношения	Дискретная модель
Индуктивный элемент Емкостный элемент	где ; ; где ; ; .

 

Примечание: если емкостный и индуктивный элементы линейные и тои.

Метод дискретных моделей хорошо поддается машинной алгоритмизации и используется для расчета сложных нелинейных цепей на ЭВМ. Для достаточно простых схем он может быть реализован ’’вручную’’.

Последовательность расчета нелинейной цепи методом дискретных моделей иллюстрируется приведенным ниже примером решения задачи.

В цепи на рис. 3 предыдущей задачи  ЭДС источника Е = 1В; 1Ом;4 Ом. Вебер - амперная характеристика нелинейной катушки индуктивности аппроксимирована выражениемгде ток – в амперах, потокосцепление – в веберах.

Рассчитать ток i в цепи после замыкания ключа

.

Решение

1. Нарисуем расчетную дискретную схему замещения цепи (см. рис. 4).

Для этой схемы справедливо

(6)

где в соответствии с табл. 1

 

Значение дифференциальной индуктивности нелинейной катушки на k-м шаге

(7)

 

2. Выберем шаг интегрирования На основании закона коммутацииТогдаи в соответствии с (7). Параметры элементов схемы замещения:откуда на основании (6)

На следующем шаге тогдаи параметры элементов схемы замещенияоткуда

   

Результаты пошагового расчета согласно приведенному алгоритму представлены в табл. 2 .

 

Таблица 2. Результаты расчета

	с	А	Вб	Гн	Ом	В	А
0	0	0,2	0,585	0,974	0,974	0,195	0,605
1	1	0,605	0,846	0,466	0,466	0,282	0,874
2	2	0,874	0,956	0,365	0,365	0,319	0,966
3	3	0,966	0,989	0,341	0,341	0,329	0,99
4	4	0,99	0,997	0,335	0,335	0,332	0,998