лекция 4

Министерство образования и науки РФ

ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный технологический

университет»

Кафедра электротехники и электрических машин

УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой электротехники и электрических машин
к.т.н., доцент		ЯЯ.М. Кашин
____ _______ 2015 г.

Конспект лекций

по дисциплине «Численные методы расчета

электрооборудования»

для студентов направления 13.04.02 «Электроэнергетика и электротехника»

Квалификация выпускника – магистр

Разработал:

к.т.н., доц. И.Н. Автайкин

Обсужден на заседании кафедры

электротехники и электрических машин

25 августа 2015 г. (протокол № 1)

Секретарь кафедры

к.т.н., доц. С.А. Попов

2015 г.

Лекция № 1 (2 часа)

по дисциплине «Численные методы расчета электрооборудования»

Тема № 4. Численное дифференцирование

Цели: 1. Формирование следующих компетенций:

ПК_Д-3 Способностью к освоению и применению современных средств анализа и моделирования работы электрооборудования

2. Формирование уровня обученности:

Знать: современных средств анализа и моделирования работы электрооборудования.

Уметь: применять современные методы решения математических задач с использованием компьютерной техники.

Владеть: современным математическим аппаратом позволяющим анализировать математические модели электрооборудования.

Материальное обеспечение:

Учебные вопросы

1. Метод Эйлера;

2. Усовершенствованный метод Эйлера;

3. Модифицированный метод Эйлера;

4. Метод Рунге-Кута.

Литература

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П. Кобельков Г.М. Численные методы / Учебн. пособие- М.: Наука, 2011.- 631с.

2. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики / Учебн. пособие- М.: Наука, 2011.- 535с.

Методы решения однородных дифференциальных уравнений.

Дифференциальным называется уравнение, содержащее один или несколько производных. В зависимости от количества не зависимых переменных, дифференциальные уравнения делятся на две категории.

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)

2. Дифференциальные уравнения в частных производных.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции . Их можно записать виде

(1)

независимая переменная

Наивысший порядок , входящий в уравнение (1) называется порядком дифференциального уравнения.

Простейшим (линейным) ОДУ является уравнение (1) разрешенное относительно производной

(2)

Решением дифференциального уравнения (1) называется всякая функция, которая после ее подстановки в уравнение обращает его в тождество.

Основная задача, связанная с линейной ОДУ известно как задача Каши: найти решение уравнения (2) в виде функции удовлетворяющий начальному условию (3)

Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую, проходящую через точку ) при выполнение равенства (2).

Численный с точки зрения задачи Каши означает: требуется построить таблицу значений функции удовлетворяющий уравнение (2) и начальное условие (3) на отрезке с некоторым шагом . Обычно считается, что то есть начальное условие задано в левом конце отрезка.

1. Метод Эйлера.

Простейшим из численных методов решения дифференциального уравнения является метод Эйлера. В его основе лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной форме или таблицы.

Пусть дано уравнение с начальным условием то есть поставлена задача Каши. Решим вначале следующую задачу. Найти простейшим способом приближенное значение решения в некоторой точке где -достаточно малый шаг. Уравнение (2) совместно с начальным условием (3) задают направление касательной искомой интегральной кривой в точке с координатами

Уравнение касательной имеет вид

Двигаясь вдоль этой касательной, получим приближенное значение решения в точке :

или

(4)

Располагая приближенным решением в точке можно повторить описанную ранее процедуру: построить прямую проходящую через эту точку с угловым коэффициентом , и по ней найти приближенное значение решения в точке .

Заметим, что эта прямая не является касательной к реальной интегральной кривой, поскольку точка нам не доступна, однако если достаточно мало то получаемые приближенные будут близки к точным значениям решения.

Продолжая эту идею, построим систему равно отстоящих точек

.

Получение таблицы значений искомой функции по методу Эйлера заключается в циклическом применение формулы

(5)

Рисунок. 1. Геометрическая иллюстрация метода Эйлера

Решение ОДУ в некоторой точке x_i называется устойчивым, если найденное в этой точке значение функции y_i мало изменяется при уменьшении шага интегрирования. Для проверки устойчивости, таким образом, надо провести два расчета значения (y_i) – с шагом интегрирования 2h и при уменьшенной (например, двое) величине шага. В качестве критерия устойчивости можно использовать малость относительного изменения полученного решения при уменьшении шага интегрирования

где - решение, рассчитанное с шагом 2h , – решение, рассчитанное с

шагом h .

Пример

В качестве примера проведем расчеты по формулам метода Эйлера с

шагом h=0,05 и h=0,1 для задачи Коши .

Формулы для расчета имеют вид

Рассчитываем с шагом h = 0.1

0.

1.

2.

3.

***

10.

2. Усовершенствованный метод Эйлера

Точность метода Эйлера можно повысить, если воспользоваться для аппроксимации интеграла более точной формулой интегрирования –формулой трапеций.

Основная идея этого метода: вычисляемое по формуле (5) очередное значение будет точнее, если значение производной, то есть угловой коэффициент прямой замещающей интегральную кривую на отрезке будет вычисляться не по левому краю (то есть в точке ), а по центру отрезка . Но так как значение производной между точками не вычисляется, то перейдем к сдвоенным участкам центром, в которых является точка , при этом уравнение прямой получает вид:

(6)

А формула (5) получает вид

(7)

Формула (7) применена только для , следовательно, значения по ней получить нельзя, поэтому находят по методу Эйлера, при этом для получения более точного результата поступают так: с начала по формуле (5) находят значение

(8)

В точке а затем находится по формуле (7) с шагом

(9)

После того как найдено дальнейшие вычисления при производится по формуле (7)

….

Пример

В качестве примера проведем расчеты по формулам усовершенствованного метода Эйлера с шагом h=0,1 для задачи Коши .

;

***

3. Модифицированный метод Эйлера

Повысить точность и устойчивость вычисления решения можно с помощью неявного метода Эйлера следующего вида.

Прогноз:

(10)

Коррекция:

(11)

Геометрически это означает, что с начало определяется направление интегральной кривой в исходной точке и во вспомогательной точке , а в качестве окончательного направления берется среднее значение этих направлений.

Благодаря более точной формуле интегрирования, погрешность метода пропорциональна уже квадрату шага интегрирования.

Пример

В качестве примера проведем расчеты по формулам модифицированным методом Эйлера с шагом h=0,1 для задачи Коши .

Таблица Решение уравнения модифицированным методами Эйлера

xi	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
yi	1	0.99	0.961	0.914	0.852	0.779	0.698	0.613	0.528	0.446	0.369

Точное решение имеет вид

4. Метод Рунге-Кутты

Воспользовавшись хорошо зарекомендовавшей себя формулой Симпсона, можно получить еще более точную формулу для решения задачи Коши для ОДУ первого порядка -  широко используемого в вычислительной практике метода Рунге-Кутты.

В формуле Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла используются значения подинтегрального выражения в  трех точках. В интеграле их всего две, поэтому введем дополнительную точку в середине отрезка [x_i+1 , x_i].

тогда можно определить так

Полученное выражение является неявным, так как в правой части содержатся  еще не определенные значения функции y_i+h/2 и y_i+1. Чтобы воспользоваться этой формулой, надо использовать некоторое приближение для вычисления этих значений .

 

При использовании различных методов приближенного вычисления этих величин, получаются выражения для методов Рунге-Кутты различного порядка точности.

Алгоритм Рунге-Кутты четвертого порядка - (погрешность порядка h⁴):

где

Алгоритм четвертого порядка требует на каждом шаге четырех вычислений функции соответственно, но является весьма точным.