1.2 Определение параметров линейного однофакторного уравнения регрессии

Пусть у нас имеются данные о доходах ( x  ) и спросе на некоторый товар ( y  ) за ряд лет ( n  ):

Год i	Доход x	Спрос y
1	x 1	y 1
2	x 2	y 2
3	x 3	y 3
...	...	...
n	x n	y n

Предположим, что между x и y существует линейная взаимосвязь, т.е. y=a+bx.

Для того, чтобы найти уравнение регрессии, прежде всего нужно исследовать тесноту связи между случайными величинами x и y , т.е. корреляционную зависимость.

Пусть

x ₁ , x ₂ , ..., x _n   совокупность значений независимого, факторного признака;

y ₁ , y ₂ , ..., y _n   совокупность соответствующих значений зависимого, результативного признака;

n   количество наблюдений.

Для нахождения уравнения регрессии вычисляются следующие величины:

1. Средние значения

 для экзогенной переменной;

  для эндогенной переменной.

2. Отклонения от средних величин

3. Величины дисперсии и среднего квадратичного отклонения

=;

.

Величины дисперсии и среднего квадратичного отклонения характеризуют разброс наблюдаемых значений вокруг среднего значения. Чем больше дисперсия, тем больше разброс.

4. Вычисление корреляционного момента (коэффициента ковариации):

Корреляционный момент отражает характер взаимосвязи между x и y . Если K _x, y  > 0, то взаимосвязь прямая. Если K _x, y  < 0, то взаимосвязь обратная.

5. Коэффициент корреляции вычисляется по формуле

.

Доказано, что коэффициент корреляции находится в интервале от минус единицы до плюс единицы (- 1 >=   R _x, y <=  1). Коэффициент корреляции в квадрате называется коэффициентом детерминации.

Если R _x, y  >  |0,8|, то вычисления продолжаются.

6. Вычисления параметров регрессионного уравнения.

Коэффициент b находится по формуле

После чего можно легко найти параметр a :

Коэффициенты a и b находятся методом наименьших квадратов, основная идея которого состоит в том, что за меру суммарной погрешности принимается сумма квадратов разностей (остатков) между фактическими значениями результативного признака y _i и его расчетными значениями y _{i  р} , полученными при помощи уравнения регрессии

.

При этом величины остатков находятся по формуле

,

где y _i   фактическое значение y ; y _{i σ}   расчетное значение.

Пример 1: Линейная регрессия, нахождение уравнения регрессии.

Задание: С целью анализа взаимного влияния зарплаты и текучести рабочей силы на пяти однотипных фирмах с одинаковым числом работников проведены измерения уровня месячной зарплаты X и числа уволившихся за год рабочих Y, данные приведены в таблице 2:

Таблица 1- соотношение зарплаты и кол-ва уволившихся рабочих

X	100	150	200	250	300
Y	60	35	20	201	15

Найти линейную регрессию Y на X, выборочный коэффициент корреляции.

Решение: Сначала найдем характеристики случайных величин X и Y (выборочное среднее и выборочное среднее квадратичное отклонение).

Таблица 2 – вычисление выборочного среднего и выборочного среднего квадратичного отклонения для X

Сумма

	100	150	200	250	300	1000
	10000	2500	0	2500	10000	25000

Выборочная средняя

Выборочная дисперсия 25000=500

Выборочное квадратичное отклонение

Таблица 3 – вычисление выборочного среднего и выборочного среднего квадратичного отклонения для Y

Сумма

	60	35	20	20	15	150
	900	25	100	100	225	1350

Выборочная средняя

Выборочная дисперсия 1350=270

Выборочное квадратичное отклонение

Осталось подсчитать Подсчеты занесем в таблицу:

Таблица 4- вычисление произведений x_iy_i и их суммы

xi	100	150	200	250	300
yi	60	35	20	20	15	Сумма
xiyi	6000	5250	4000	5000	4500	24750

Коэффициент корреляции вычислим по формуле

Уравнение регрессии Y на X имеет вид:

Подставляем все величины:

Пример 2: Линейная регрессия по корреляционной таблице, построение графика.

Задание: Найти выборочное уравнение прямой регрессииY на X по заданной корреляционной таблицы.

Таблица 5- Корреляционная таблица

Y/X	10	15	20	25	30	35	ny
30	2	6					8
40		4	4				8
50			7	35	8		50
60			2	10	8		20
70				5	6	3	14
nx	2	10	13	50	22	3	N=100

Решение: Построим ряды распределений для Y и X, вычислим их характеристики (выборочное среднее и выборочное среднее квадратичное отклонение)

Таблица 6- Вычисление выборочного среднего и выборочного среднего квадратичного отклонения

10	2	20	417,605
15	10	150	893,025
20	13	260	257,4325
25	50	1250	15,125
30	22	660	677,655
35	3	105	333,9075
Сумма	100	2445	259,75

Выборочная средняя

Выборочная дисперсия

Выборочное квадратичное отклонение

30	8	240	4014,08
40	8	320	1230,08
50	50	2500	288
60	20	1200	1155,2
70	14	980	4336,64
Сумма	100	5240	11024

Выборочная средняя

Выборочная дисперсия

Выборочное квадратичное отклонение

Коэффициент корреляции вычислим по формуле:

Найдем сумму

Тогда R_x,y=

Уравнение регрессии Y на X имеет вид:

Подставляем все величины:

Построим корреляционное поле и линию регрессии:

Рисунок 2- уравнение регрессии

Задание для самостоятельного решения : написать программу на языке С++ для нахождения уравнение регрессии и построения графика, отображающего корреляционное поле и линию регрессии.

Имеются следующие данные разных стран об индексе розничных цен на продукты питания (х) и об индексе промышленного производства (у).

Таблица 7- сведения об индексе розничных цен на продукты питания (х) и об индексе промышленного производства (у).

i	x	y
1	100	70
2	105	79
3	108	85
4	113	84
5	118	85
6	118	85
7	110	96
8	115	99
9	119	100
10	118	98
11	120	99
12	124	102
13	129	105
14	132	112