Правило Саррюса (правило треугольника).

Пример 1:

= – 2×1× (–5) + 5×4×(– 4) + 3×2×(– 3) – (– 3) ×1× (– 4) – 4×2×

(– 2) – 5×3 × (– 5) = 10 – 80 –18 –12 +16 +75 = – 9.

Пример 2:

= 45 + 8 ‒ 24 ‒ 60 + 6 ‒ 24 = ‒ 49.

Минором M_ij элемента a_ijквадратной матрицы n ‒ го порядка называется определитель (n ‒ 1) ‒ го порядка, полу­ченный из данной матрицы вычеркиванием i ‒ й строки и j ‒ го стол­бца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Пример:

;

M₁₁ = = 15 + 2 = 17;

M₁₂ = = – 6 – 6 = –12; и т. д. всего 9 миноров.

Алгебраическим дополнением A_ijэлемента a_ij квадратной матрицы называется его минор, взятый со знаком (‒1)^i+j.

Пример:

А ₁₁ = (–1)¹⁺¹ × M₁₁ = 17.

А ₁₂ = (–1)¹⁺² × M₁₂ = ‒ 1×M₁₂ = 12.

А ₁₃ = (–1)¹⁺³ × = 4 ‒ 30= – 26; и т.д.

Теорема Лапласа

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

по I стр. = × (–1) ¹⁺² × +×(–1) ¹⁺² ×

× +×(–1) ¹⁺²× ;

Пример:

по II стр. = ‒ 2×(–1)²⁺¹ ×+5×(–1)²⁺² ×+1×

×(–1) ²⁺³×= 2×(–12+4)+5×(9–12)–1×(–6+24) = 16–15–18= – 49.

Свойства определителей.

1. Определитель равен нулю, если содержит:

- нулевую строку или нулевой столбец;

- две одинаковые строки (столбца);

- две пропорциональных строки (столбца).

Пример:

= 0; = 0;= 0;III = I × (-3).

2. Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

Пример:

= 2×= 2×(30+24+4‒24+8+15) = 2×57= 114.

3. Определитель не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца) умноженные на одно число.

Пример:

I × 5 + II; I × (‒2) + III; I × (‒ 4) + IV;

= = 1×(–1)¹⁺³×.

Вырожденные и невырожденные матрицы, обратная матрица.

Матрица А^-1называется обратной к матрице A, если при умножении ее на матрицу A, как справа, так и слева, получится единичная матрица.

А^-1×A=A× А^-1=E

Матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен 0, и называется вырожденной, если ее определитель равен 0.

Теорема.

Обратная матрица А^-1существует только тогда, когда матрица невырожденная, т.е. |A| ≠ 0.

Алгоритм нахождения.

1. Найти определитель матрицы А.

Если │A│= 0, то обратная матрица не существует, если │A│≠ 0, то перейти ко второму шагу.

2. Найти матрицу A^T, транспонированную к матрице А.

3. Найти алгебраические дополнения элементов матрицы A^T и составить из них матрицу Ã, которая называется присоединенной.

à =

4. Обратную матрицу найти по формуле:

5. Сделать проверку А^-1 × A = E

Решение матричных уравнений.

Матричное уравнение имеет вид:

A × Х= B

Умножим обе части уравнения на матрицу А^-1 слева:

А^-1× A ×Х = А^-1 × В.

Так как А^-1×А=Е, то Е×Х = А^-1×В.

Так какЕ × Х=X, то Х= А^-1×В

Пример:

Дано:

А = ;

В = ;

Найти:

X ‒?

Решение:

1) │А│=

2) A^T= .

3)

Ã= .

4) А^-1 = × Ã =×=

Х= А^-1× B =

Ответ:

Ранг матрицы, нахождение ранга матрицы.

Рангом матрицы называется наивысший порядок не равных нулю миноров этой матрицы.

Обозначается rang (A) или r (A).

Теорема 1. Ранг матрицы не превосходит наименьшего из ее размеров.

r(A) ≤ min (m; n)

Пример:

А_2×3 = ;

r (A) ≤ min (2; 3) = 2, т. е. согласно теореме r (A) ≤ 2.

= 3 + 24 = 27  0; r (A) = 2 (порядок ненулевого минора).

Теорема 2. Ранг квадратной матрицы n-го порядка равен ее порядку, если она не вырожденная.

Примеры:

1)А_3×3 = ; r (A) ≤ 3.

│А│= = 24 + 0 – 4 + 4 – 18 – 0 = 6  0 матрица не вырожденнаяr (A) = 3.

2)А_3×3 =; │А│= 0, т.к. III = I × (– 3) r (A) < 3.

= 0 + 5 = 5  0 r (A) = 2 (порядок ненулевого минора).

Теорема 3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.