Переход к новому базису.

Пусть в пространстве R заданы два базиса: старый ,, … ,и новый,, … ,.

Выразим связь между базисами, разложив векторы нового базиса по векторам старого базиса:

Связь между базисами задается матрицей , записанной в транспонированном виде:

А =

Координаты вектора в новом базисе находятся с помощью обратной матрицы .

где – матрица перехода от старого базиса к новому;

Пример:

Дано	Решение
(1; 1; 0), (1; –1; 1), (–3; 5; –6), (4; –4; 5). В базисе , ,.	1) Докажем, что векторы и являются линейно независимыми, т. е. образуют базис. Для этого составим их линейную комбинацию и приравняем ее к нулевому вектору. · +·+= . Получим:
Доказать, что векторы и сами образуют базис и найти координаты векторав этом базисе.
Следовательно, получим однородную систему: ∆ = = 6– 3 + 0 – 0 – 5 + 6 = 4  0 Следовательно,система имеет единственное решение и– линейно независимые, т. е. образуют базис. 2) Разложим векторы нового базиса по векторам старого базиса. . Координаты вектора . ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Ã=

Линейные операторы.

Рассмотрим два линейных векторных пространства: – размерности и– размерности.

Определение. Если задан закон или правило, по которому каждому вектору пространстваставится в соответствие единственный вектор ȳ пространства, то говорят, что задан оператор (отображение) как функцияпространствав пространство, т.е..

Вектор – прообраз вектора, вектор– образпри этом отображении.

Оператор называетсялинейным, если выполняются следующие два условия:

1. (+) =() +() – аддитивность;

2. (·) =·() – однородность.

Равенство можно представить в виде матричного уравнения:

Y = A · X,

где A – матрица линейного оператора . В координатном виде получим:

Зависимость между матрицами одного и того же операторав разных базисах задается формулой:

= ·,

где – матрица перехода от старого базиса к новому.

Пример:

Линейный оператор задан матрицей:

;

;

Найти:

Решение:

;

.

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы).

Вектор  называется собственным вектором линейного оператора (матрицы), если выполняется равенство:

() =(1)

Следовательно, , (т. е.отображается на коллинеарный вектор).

Число  называется собственным значением линейного оператора.

Запишем равенство (1) в матричном виде:

A·X = ·X;A·X ‒·X = 0,

т. е.

(A ‒  · E) · X = 0 (2)

– характеристическое уравнение.

Запишем матричное уравнение (2) в виде однородной системы линейных уравнений:

Эта система имеет ненулевое решение, если определитель системы равен нулю, т.е.

│A –·E │= 0 или = 0 (3)

Левая часть уравнения (3) является многочленом n‒ степени относительно .

Количество корней уравнения (3) равняется количеству собственных значений  оператора A, а, значит, и количеству собственных векторов этого оператора.

Пример:

Найти: собственные значения и собственные векторы этого оператора.

Решение:

Составим характеристический многочлен.

│A – ·E │=

=

. – собственные значения оператора A.

1) при

;

;

.

Пусть , тогда – первый собственный вектор оператора A.

2) при

;

;

.

Пусть , тогда