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deine Antworten. Wenn die Antwort positiv ist, entwirf einen EA für diese Sprache. Wenn die Antwort negativ ist, liefere einen Beweis der Nichtexistenz eines EA für die gegebene Sprache.

a){uuv {0, 1, } | u, v {0, 1} },

b){ww {0, 1} | w {0, 1} },

c){x {a, b} | (|x|a + 2|x|b) mod 4 = 3},

d){an2 | n N} über {a},

e){02n | n N} über {0},

f){u1v | u, v {0, 1} , (|uv|0 −2|uv|1) mod 3 = 1},

g){x1y | x, y {0, 1} , |x| = |y|}.

Zusammenfassung

Um die Nichtexistenz eines kleinen oder sogar eines beliebigen endlichen Automaten zu beweisen, reicht es nicht zu sagen, dass keiner der Ansätze funktioniert. Es muss etwas Allgemeines über die betrachtete Sprache bewiesen werden, um die Existenz eines kleinen oder überhaupt eines endlichen Automaten für die Akzeptanz der Sprache auszuschließen.

In dieser Lektion haben wir eine einfache und dabei wirksame Methode für Nichtexistenzbeweise entwickelt. Die Methode basiert auf der Zuordnung der Wortklassen zu jedem Zustand und auf der Fähigkeit, eine große (potentiell unendliche) Gruppe von Wörtern zu finden, von denen keine zwei zur gleichen Zustandsklasse eines Automaten gehören dürfen. Die Suche nach dieser Gruppe von Wörtern basiert auf einer Schätzung, welche Information über das bisher gelesene Wort gespeichert werden muss.

Es bestehet die Möglichkeit, die Beweise sowohl direkt als auch indirekt zu führen. Bei direkten Beweisen gehen wir konstruktiv vor, indem wir eine Gruppe unterschiedlicher Wörter bilden, von denen keine zwei in die gleiche Zustandsklassen gehören dürfen. Beim indirekten Beweisen setzen wir voraus, dass es für die gegebene Sprache einen endlichen Automaten mit einer gewissen Größe gibt. Danach konstruieren wir eine Gruppe von Wörtern, die größer ist als die Anzahl der Zustände des endlichen Automaten und in

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b)* {1n20n3 | n N},

c){02n1n02n | n N},

d){x2y | |x|1 = |y|0, x, y {0, 1} },

e){w#w#w | w {0, 1} },

f){x#y | x, y {0, 1} , x ist ein Präfix von y},

g){uv | u, v {0, 1} , u ist ein Präfix von v}.

Lösungen zu ausgesuchten Aufgaben

Aufgabe 7.2

Es stehen unendlich viele passende Möglichkeiten zur Wahl der Wörter x1, x2, x3 und x4. Wenn wir den endlichen Automaten in Abb. 7.1 betrachten, funktioniert unsere Methode für eine beliebige Wahl von xi aus Klasse[qi−1] für i = 1, 2, 3, 4.

Um zu zeigen, dass kein Paar (xi, x j ) die Eigenschaft hat, dass beide Wörter xi und x j zu der gleichen Zustandsklasse gehören können, kann man die entsprechenden zi j wie folgt wählen:

Aufgabe 7.4 (a)

Um Wörter mit dem Teilwort 101 zu akzeptieren, muss sich ein endlicher Automat merken, ein

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Aufgabe 7.12

Um die Nichtregularität der Sprache

L = {w {0, 1} | |w|0 = 2|w|1}

zu zeigen, kann man ähnlich wie in Beispiel 7.2 vorgehen. Wir beweisen zuerst, dass alle Wörter der Form 02n1n in L gehören und dass kein Wort der Form 02i1 j für i =j in L liegt. Somit kann man xi = 02i für i = 1, 2, . . . wählen. Für beliebige xi und x j mit i =j wählen wir dann zi j = 1i und erhalten

xizi j = 02i1i L und x j zi j = 02i1 j / L.

Aufgabe 7.13 (d)

Die Nichtregularität der Sprache

L = {an2 | n N}

kann man dank der wachsenden Differenz zwischen zwei nachfolgenden Quadratzahlen beweisen. Wir berechnen, dass

xi = ai2 +1 / L

für i = 1, 2, . . .. Für xi und x j mit i < j wählen wir zi j = a2i. Somit erhalten wir xizi j = ai2 +1a2i = a(i+1)2 L

und

x j zi j = a j2 +1a2i = a j2 +2i+1 / L.

Das Letzte gilt, weil j2 < j2 + 2 ·i + 1 < j2 + 2 · j + 1 = ( j + 1)2. Somit liegt j2 + 2i + 1 zwischen zwei nachfolgenden Quadratzahlen und ist damit keine Quadratzahl.

Neben dem Erlernen von Grundlagen der Automatentheorie haben wir zur Festigung unserer eigenen mathematischen Denkweise beigetragen. Wir haben geübt, direkte und indirekte Beweise sowie Induktionsbeweise zu führen. Während des gesamten Moduls wurde die Mathematik als Sprache der Wissenschaft benutzt, um Objekte unseres Interesses prägnant beschreiben und eindeutige Aussagen über sie treffen zu können.