Параметрические критерии проверки статистических гипотез

Наиболее распространенным параметрическим критерием является критерий t-Стъюдента. Его используют для проверки гипотезы о равенстве двух генеральных средних. Как видно из рисунка 18, две выборки могут быть извлечены из одной генеральной совокупности и в этом случае у выборочных средних одна общая генеральная средняя, или же эти выборки принадлежат разным совокупностям и, следовательно, генеральные средние отличаются.

Рисунок 18. Гипотезы о равенстве

Критерий Стъюдента можно использовать при условии, если

• признаки количественные и имеют нормальное распределение

• генеральные дисперсии сравниваемых совокупностей равны

Несоблюдение этих условий может привести к некорректным результатам.

СЛУЧАЙ 1. Выборки независимые.

В этом случае нулевая гипотеза Н(0) звучит так:

• две генеральные средние равны

• или - две выборки извлечены из одной генеральной совокупности

• или - две совокупности имеют одинаковое распределение

В медицинских задачах гипотеза может быть сформулирована, например, таким образом: содержание гемоглобина у городских и сельских жителей одинаково (подразумевая, что одинаково его распределение).

Проверяемый t-критерий вычисляется по формуле

(11)

где – выборочные средние

m₁, m₂ - стандартные ошибки средних значений сравниваемых выборок.

Находим по таблице t_крит для заданного α и числа степеней свободы

f =n₁ + n₂ – 2 (12)

Если │t_выч │< t_крит то принимается Н(0) (нет аргументов, чтобы ее отвергнуть)

Если │ t_выч│≥ t_крит то принимается Н(1) и делается заключение о наличии статистически значимых различий между генеральными средними значениями на соответствующем уровне значимости.

Условие равенства двух генеральных дисперсий проверяется по критерию Фишера, который равен отношению большей выборочной дисперсии к меньшей:

(13)

F_крит находится по таблице (Приложение 7) для заданного α и числа степеней свободы

f₁=n₁-1 и f₂=n₂-1 (14)

Если F_выч≥ F_крит , то гипотеза о равенстве генеральных дисперсий отвергается

Если F_выч< F_крит , то принимается нулевая гипотеза о равенстве.

Пример. По данным из таблицы 14 определить, отличается ли при себорее содержание связанного холестерина крови (мг%) от нормы, если известно, что концентрация холестерина имеет нормальное распределение, а дисперсии в двух совокупностях одинаковы. Таблица 14. Данные к примеру норма 58,9 53,1 64,1 59,3 69 62 53,3 61,1 58,3 себорея 105,3 83,7 122,2 110,6 101,1 96,8 114,5 113 Решение: Вычислим средние значения для двух выборок: Несмотря на то, что две выборочные средние отличаются, не исключена возможность, что генеральные средние равны. Поэтому выдвинем гипотезы: Н(0): среднее значение связанного холестерина в крови при себорее не отличается от нормы Н(1): среднее значение связанного холестерина в крови при себорее отличается от нормы Гипотезы будем проверять на уровне значимости α=0,05. Результаты вычислений представлены в таблице 15. Таблица15. Итоги проверки гипотезы группа n (мг%) s(мг%2) m (мг%) вычисленный t-критерий F-критерий норма 9 59,9 5,0 1,67 -20,8 1,08 себорея 8 109,5 4,8 2,81 Определим Fкрит по таблице (Приложение 7) для f1=8 и f2=7 Fкрит=3,73 Т.к. Fвыч< Fкрит (1,08<3,73) принимаем гипотезу о равенстве генеральных дисперсий Определим tкрит для α=0,05 и числа степеней свободы в двух группах f=n1+n2-2=9+8-2=15 Из таблицы (Приложение 2) получаем двусторонний tкрит=2,13 т.к.│tвыч│> tкрит (20,8>2,13) – то принимается альтернативная гипотеза. Вывод: Содержание связанного холестерина в крови при себорреи статистически значимо отличается от нормы с вероятностью не менее 95%.

СЛУЧАЙ 2. Выборки зависимые

Для сравнения двух зависимых выборок или выборок с попарно связанными вариантами проверяют гипотезу о равенстве нулю среднего значения их попарных разностей. Такая задача возникает, когда имеются данные об изменении интересующего признака у каждого пациента. Например, если группа пациентов получала изучаемый метод лечения, и у каждого пациента измерялось значение признака до и после лечения. В данном случае предстоит проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю изменений этого признака в результате получения терапии.

При подобных исследованиях все наблюдения можно представить в виде n-пар измерений (например, до и после)

Для каждой пары вычисляется разность d_i, где i=1, n

Для полученного ряда вычисляется среднее и среднеквадратичное отклонение

Далее вычисляется значение критерия Стъюдента

(15)

Проверка гипотезы производится по таблицам распределения Стьюдента (Приложение 2) для выбранного уровня значимости и числа степеней свободы f= п-1.

Если │t_выч │< t_крит то принимается Н(0)

Если │ t_выч│≥ t_крит то принимается Н(1) и делается заключение о наличии статистически значимых различий между генеральными средними значениями «до» и «после».

Пример. В группе из 6 человек изучалось влияние пробежки на ЧСС (уд/мин). В результате опыта получилось 2 ряда ЧСС: первый – до пробежки, второй – после пробежки: Таблица 16. ЧСС до и после пробежки До пробежки, уд/мин. 65 75 68 80 75 62 После пробежки, уд/мин. 77 82 65 90 85 75 Изменяется ли ЧСС после пробежки? Необходимо оценить статистическую значимость полученных результаты, если известно, что ЧСС имеет нормальное распределение. Для наглядности представим данные в следующей таблице 17: Таблица 17. Изменения ЧСС x1i (до пробежки) х2i(после пробежки) di(разница ЧСС) 65 77 12 75 82 7 68 65 3 80 90 10 75 85 10 62 75 13 Ср. знач.=70,8 Ср. знач.=79 Ср. знач.= 8,2 Несмотря на то, что средние значения ЧСС до и после пробежки отличаются, не исключена возможность, что в генеральной совокупности пробежка не повлияет на ЧСС. Поэтому выдвигаем гипотезы: Н(0): после пробежки ЧСС в среднем не меняется Н(1): после пробежки ЧСС в среднем меняется Гипотезы будем проверять на уровне значимости α=0,05. Результаты вычислений представлены в таблице 18. Таблица 18. Результаты проверки гипотезы группа n (уд/мин) (уд/мин) sd(уд/мин2) вычисленный t-критерий до пробежки 6 70,8 8,2 5,3 3,75 после пробежки 79 Определим по таблице Стьюдента (Приложение 2) для α=0,05 и числа степеней свободы f=n-1=5 двусторонний tкрит = 2,57. │tвыч │> tкрит – следовательно принимается Н(1). Вывод: изменение ЧСС после пробежки статистически значимо с вероятностью не менее 95%.

Контрольное задание 5:

1. На каком уровне значимости можно утверждать, что содержание сахара в крови лиц основной и контрольной групп одинаково

Таблица 19. Данные к заданию

Сахар в крови, г/л		t0,05	t0,01	tвыч
	Основная группа	2,262	3,25	3,11
	Контрольная группа

2. По данным из таблицы 20 сформулируйте нулевую и альтернативную гипотезы. Какая из гипотез будет принята.

Таблица 20. Данные к заданию

Аплитуда ЭЭГ	фон	альфа	р
	гипервентилляция	0,05	7,5%