14. Преобразование инверсии. Пространственная четность

Введем оператор инверсии пространства, который заменяет значения декартовых координат частиц на противоположные:

. (14.1)

Найдем собственные значения оператора . Действуем на левую и правую части равенства (1) оператором, получаем равенство

. (14.2)

Отсюда собственное значение квадрата оператора инверсии равно P²= 1. Поэтому собственные значения оператораравны:

P=1. (14.3)

Эти собственные значения называются четностью или пространственной четностью системы. Четности, P= 1, отвечает состояние системы с четной собственной функцией:

, (14.4)

а значению четности P= –1 соответствует состояние с нечетной собственной функцией:

. (14.5)

Гамильтониан любой замкнутой системы, в которой отсутствуют слабые взаимодействия частиц, инвариантен по отношению к преобразованию инверсии. Эта инвариантность сохраняется и для систем с центрально-симметричным полем, если центр системы совпадает с центром поля.

Инвариантность гамильтониана по отношению к преобразованию инверсии [] = 0 приводит кзакону сохранения четности, который выполняется для замкнутых систем в отсутствие слабых взаимодействий. Если в системе имеет место слабое взаимодействие частиц, закон сохранения четности нарушается. Это установили в 1956 г. Ли Цзундао и Янг Чженьнин.

15. Стационарное уравнение Шредингера. Свойства стационарных состояний

Если гамильтониан системы не зависит от времени явно (= 0), то уравнение Шредингера

(15.1)

допускает разделение переменных:

(,t) =()(t), (15.2)

где () – функция координат, а(t) – функция времени. Подставив (2) в уравнение Шредингера (1), получаем

i()(t) = (t)() (15.3)

Разделив левую и правую части этого равенства на ()(t), разделяем переменные:

. (15.4)

Так как функция в левой части (4) зависит только от координат, а в правой – только от времени, она может быть только постоянной, которую обозначили E.

Отсюда получаем стационарное уравнение Шредингера

() =E(), (15.5)

которое представляет собой уравнение на собственные функции гамильтониана, а E– собственное значение гамильтониана или энергия стационарного состояния.

Из (4) получаем также уравнение

i(t) = E (t). (15.6)

Его решение с точностью до постоянного множителя есть

(t) =(15.7)

Стационарными состояниями называются состояния с определенными значениями энергии. Волновые функции стационарных состояний имеют вид

(,t) =_Е(). (15.8)

Свойства стационарных состояний

А) Зависимость от времени волновых функций стационарных состояний однозначно определяется энергией состояния;

Б) В стационарных состояниях плотность вероятности не зависит от времени: (,t) = |_Е()|²=const.

В) В стационарных состояниях среднее значение наблюдаемой Fне изменяется с течением времени, если= 0:

F = _^*(, t)(, t) d = _^*_Е()_Е() d = const.

Сама наблюдаемая может иметь определенное значение в стационарном состоянии, если [] = 0.

Г) Вероятность обнаружить систему в собственном состоянии оператора остается постоянной:

w(F_k ) = | a_k |² = | _(, t)^*_k() d |² = const.