11. Теоремы Эренфеста. Предельный переход к классической механике

Рассмотрим, как изменяются со временем координата и импульс частицы. Для простоты ограничимся одномерным случаем, когда гамильтониан частицы имеет вид:

. (11.1)

Производная по времени оператора координаты (представление Гейзенберга) равна

, (11.2)

откуда для средних значений получаем

x=. (11.3)

Находим аналогично производную по времени оператора проекции импульса:

. (11.4)

Усреднив это равенство, получаем

. (11.5)

Уравнения (3) и (5) выражают содержание теорем Эренфеста. Квантовое уравнение (5) очень похоже на классическое уравнение Ньютона для частицы в потенциальном поле

,

которое для средних значений величин следует записать так

. (11.6)

Из сравнения уравнений (5) и (6) видно, что квантовая механика переходит в классическую, если выполняется условие

. (11.7)

Это условие выполняется в случае, когда в разложении потенциала по степеням координаты можно пренебречь степенями выше второго:

U(x)  U(0) + U(0)x + U(0)x². (11.8)

Например, для описания движения электрона в кинескопе телевизора вместо квантового уравнения (5) можно применять классическое уравнение (6). Однако. В случае движения электрона в атомах или молекулах, где потенциал изменяется очень сильно на малых расстояниях, классическое приближение (6) неприменимо.

12. Унитарные преобразования. Преобразования симметрии

Преобразование, определяемое оператором :

(,t) =(,t), (12.1)

называют унитарным, то есть сохраняющим нормировку волновой функции:

1 = _|(,t)|²d=_|(,t)|²d, (12.2)

если для произвольных функций ₁^*() и₂() имеет место соотношение

_₁^*()^*₂()d=_₂()^–1₁^*()d. (12.3)

Например, рассмотренный выше оператор эволюции (9.3) является унитарным.

Говорят, что система и ее гамильтониан инвариантны относительно преобразования, если описание состояния функцией(,t) эквивалентно описанию функцией(,t) =(,t). Для этого необходимо и достаточно, чтобы операторкоммутировал с гамильтонианом:

[] = 0. (12.4)

Такое преобразование есть преобразование симметрии для системы. Покажем это. Подействуем на левую и правую части уравнения Шредингера

i(, t) = (, t) (12.5)

оператором преобразования . Так как имеет место соотношение (4), получаем

или . (12.6)

Отсюда видно, описание функцией (,t) эквивалентно описанию системы функцией(,t).

Рассмотрим оператор сдвига переменной (оператор трансляции)

(12.7)

Результат действия оператора на произвольную функцию(x) есть функция(x–). Сначала покажем для функции вида:

. (12.8)

Теперь для произвольной функции получаем

(x) = _(q)dq = _(q) dq = (x – ), (12.9)

что и требовалось доказать. (Унитарность оператора сдвига предлагается доказать в качестве упражнения).

13. Законы сохранения и их связь со свойствами симметрии пространства-времени

Докажем, что наличие интегралов движения и соответствующих законов сохранения связано со свойствами симметрии систем относительно преобразования координат и времени.

а) Однородность времени. Однородность времени проявляется в том, что свойства замкнутой системы не зависят от произвольного сдвига времени.

Введем оператор сдвига времени на :

,. (13.1)

Однородность времени выражается тогда условием

[] = 0. (13.2)

Отсюда [] = 0 или= 0, т.е. гамильтониан замкнутой системы не зависит явно от времени. Следовательно, энергия замкнутой системы является интегралом движения, так как [] = 0:

E==const. (13.3)

Таким образом, закон сохранения энергии замкнутой системы вытекает из однородности времени.

б). Однородность пространства. Однородность пространства проявляется в том, что свойства замкнутой системы не изменяются при произвольном параллельном смещении (трансляции) системы, как целого.

Оператор трансляции частицы на вектор выражается так:

,. (13.4)

Для системы частиц оператор трансляции есть произведение одночастичных операторов

, (13.5)

где – оператор полного импульса системы.

Однородность пространства выражается условием

[] = 0. (13.6)

Отсюда следует, что

[] = 0, (13.7)

Следовательно, однородность пространства определяет закон сохранения импульса замкнутой системы (P_сист=const).

в). Изотропность пространства. Изотропность пространства проявляется в инвариантности свойств замкнутой системы относительно произвольных поворотов.

Определим оператор поворота системы на угол вокруг осиzс единичным вектором:

, (13.8)

, (13.9)

где – оператор проекции момента импульса системы на Оz.

Условие изотропности пространства имеет вид

[] = 0, (13.10)

откуда следует [] = 0.

Таким образом, из изотропности пространства следует закон сохранения проекции момента импульса замкнутой системы (L_z=const).