
- •Основные положения квантовой механики
- •1. Принцип квантования
- •2. Корпускулярно-волновой дуализм. Принцип неопределенности
- •3. Описание состояний. Волновая функция. Принцип суперпозиции
- •4. Описание наблюдаемых. Эрмитовы операторы. Собственные функции и собственные значения операторов
- •5. Средние значения наблюдаемых. Вероятности возможных значений
- •6. Операторы важнейших физических величин. Коммутаторы
- •7. Условия совместной измеримости наблюдаемых. Полный набор наблюдаемых
- •8. Соотношение неопределенностей Гейзенберга
- •9. Принцип причинности в квантовой механике. Уравнение Шредингера. Плотность потока вероятности
- •10. Изменение во времени средних значений наблюдаемых. Картины Шредингера и Гейзенберга. Уравнения Гейзенберга
- •11. Теоремы Эренфеста. Предельный переход к классической механике
- •12. Унитарные преобразования. Преобразования симметрии
- •13. Законы сохранения и их связь со свойствами симметрии пространства-времени
- •14. Преобразование инверсии. Пространственная четность
- •15. Стационарное уравнение Шредингера. Свойства стационарных состояний
- •Одномерное движение частицы
- •16. Свободное движение частицы
- •17. Потенциальные барьеры. Туннельный эффект
- •18. Линейный гармонический осциллятор
- •19*. Операторы рождения и уничтожения кванта для гармонического осциллятора. Когерентные состояния
- •Движение в центрально-симметричном поле
- •20. Собственные функции и собственные значения оператора орбитального момента
- •21. Общие свойства движения в центрально-симметричном поле
- •22. Движение частицы в сферической потенциальной яме. Сферический осциллятор
- •23. Движение в кулоновском поле. Энергетический спектр атома водорода
- •24. Волновые функции и квантовые числа атома водорода. Водородоподобные и ридберговские атомы
11. Теоремы Эренфеста. Предельный переход к классической механике
Рассмотрим, как изменяются со временем координата и импульс частицы. Для простоты ограничимся одномерным случаем, когда гамильтониан частицы имеет вид:
.
(11.1)
Производная по времени оператора координаты (представление Гейзенберга) равна
,
(11.2)
откуда для средних значений получаем
x=
.
(11.3)
Находим аналогично производную по времени оператора проекции импульса:
.
(11.4)
Усреднив это равенство, получаем
.
(11.5)
Уравнения (3) и (5) выражают содержание теорем Эренфеста. Квантовое уравнение (5) очень похоже на классическое уравнение Ньютона для частицы в потенциальном поле
,
которое для средних значений величин следует записать так
. (11.6)
Из сравнения уравнений (5) и (6) видно, что квантовая механика переходит в классическую, если выполняется условие
.
(11.7)
Это условие выполняется в случае, когда в разложении потенциала по степеням координаты можно пренебречь степенями выше второго:
U(x)
U(0) +
U(0)x
+
U(0)x2.
(11.8)
Например, для описания движения электрона в кинескопе телевизора вместо квантового уравнения (5) можно применять классическое уравнение (6). Однако. В случае движения электрона в атомах или молекулах, где потенциал изменяется очень сильно на малых расстояниях, классическое приближение (6) неприменимо.
12. Унитарные преобразования. Преобразования симметрии
Преобразование,
определяемое оператором
:
(,t) =(,t), (12.1)
называют унитарным, то есть сохраняющим нормировку волновой функции:
1 = |(,t)|2d=|(,t)|2d, (12.2)
если для произвольных функций 1*() и2() имеет место соотношение
1*()*2()d=2()
–11*()d.
(12.3)
Например, рассмотренный выше оператор эволюции (9.3) является унитарным.
Говорят,
что система и ее гамильтониан
инвариантны относительно преобразования
,
если описание состояния функцией(,t) эквивалентно описанию
функцией(,t) =
(,t). Для этого необходимо
и достаточно, чтобы оператор
коммутировал с гамильтонианом:
[]
= 0. (12.4)
Такое преобразование есть преобразование симметрии для системы. Покажем это. Подействуем на левую и правую части уравнения Шредингера
i(,
t) =
(,
t)
(12.5)
оператором
преобразования
.
Так как имеет место соотношение (4),
получаем
или
.
(12.6)
Отсюда видно, описание функцией (,t) эквивалентно описанию системы функцией(,t).
Рассмотрим оператор сдвига переменной (оператор трансляции)
(12.7)
Результат
действия оператора
на произвольную функцию(x)
есть функция(x–).
Сначала покажем для функции вида
:
. (12.8)
Теперь для произвольной функции получаем
(x)
=
(q)
dq
=
(q)
dq
= (x
– ),
(12.9)
что и требовалось доказать. (Унитарность оператора сдвига предлагается доказать в качестве упражнения).
13. Законы сохранения и их связь со свойствами симметрии пространства-времени
Докажем, что наличие интегралов движения и соответствующих законов сохранения связано со свойствами симметрии систем относительно преобразования координат и времени.
а) Однородность времени. Однородность времени проявляется в том, что свойства замкнутой системы не зависят от произвольного сдвига времени.
Введем оператор сдвига времени на :
,
. (13.1)
Однородность времени выражается тогда условием
[]
= 0. (13.2)
Отсюда
[]
= 0 или
= 0, т.е. гамильтониан замкнутой системы
не зависит явно от времени. Следовательно,
энергия замкнутой системы является
интегралом движения, так как [
]
= 0:
E==const. (13.3)
Таким образом, закон сохранения энергии замкнутой системы вытекает из однородности времени.
б). Однородность пространства. Однородность пространства проявляется в том, что свойства замкнутой системы не изменяются при произвольном параллельном смещении (трансляции) системы, как целого.
Оператор
трансляции частицы на вектор
выражается так:
,
. (13.4)
Для системы частиц оператор трансляции есть произведение одночастичных операторов
,
(13.5)
где
– оператор полного импульса системы.
Однородность пространства выражается условием
[]
= 0. (13.6)
Отсюда следует, что
[]
= 0, (13.7)
Следовательно, однородность пространства определяет закон сохранения импульса замкнутой системы (Pсист=const).
в). Изотропность пространства. Изотропность пространства проявляется в инвариантности свойств замкнутой системы относительно произвольных поворотов.
Определим
оператор поворота системы на угол вокруг осиzс единичным
вектором:
, (13.8)
,
(13.9)
где
– оператор проекции момента импульса
системы на Оz.
Условие изотропности пространства имеет вид
[]
= 0, (13.10)
откуда
следует []
= 0.
Таким образом, из изотропности пространства следует закон сохранения проекции момента импульса замкнутой системы (Lz=const).