5. Средние значения наблюдаемых. Вероятности возможных значений

В процессе измерений микросистема, находящаяся в состоянии²(), взаимодействует с прибором, поэтому с той или иной вероятностью наблюдаемая будет принимать одно из собственных значений. Приборы являются макроскопическими, поэтому измерение наблюдаемой возможно только для макроскопического множества микросистем, каждая из которых находится в состоянии(), т.е. для ансамбля. Каким будет результат измерения наблюдаемой?

Постулат 3. Среднее значение наблюдаемойFв состоянии, описываемом нормированной функцией(,t), определяется формулой F = *(, t)(, t) d.

Пусть система находится в состоянии(), а – эрмитов оператор некоторой наблюдаемой, с полной ортонормированной системой собственных функций {_n}:

_n = F_n_n, (5.1)

Разложим функцию состояния по собственным функциям {_n}:

() =_()(–)d= _()_n*() d=

= a_n. (5.2)

Здесь a_n– коэффициенты разложения, определяемые выражениями

a_n = __n*()()d. (5.3)

Подставив разложение (5.2) функции состояния в условие нормировки, получаем условие нормировки для коэффициентов a_n:

_*()()d= __m*_nd= _mn= = 1. (5.4)

Подставим теперь (5.2) в формулу среднего значения наблюдаемой F:

F = _*()() d = F_n_m*_n d = F_n. (5.5)

Из (5.4) и (5.5) видно, что среднее значение Fнаблюдаемой имеет смысл математического ожидания, аw_n= |a_n|²– вероятность того, что наблюдаемая примет собственное значениеF_n, т.е. при измерении окажется в состоянии, описываемом собственной функцией_n().

6. Операторы важнейших физических величин. Коммутаторы

Каждая наблюдаемая представляется эрмитовым оператором. Как же определить вид оператора конкретной наблюдаемой?

Постулат 4. В координатном представлении операторкоординатычастицы= {x,y,z} есть оператор умножения на координату:. Оператор импульсачастицы= {px,py,pz} есть оператор= –i, где. Операторы наблюдаемых, выражаемых в классической физике функциями координат и импульсов частиц, получаются заменой их на операторы координат и импульсов (так, чтобы обеспечить эрмитовость). Операторы наблюдаемых, не имеющих классических аналогов, постулируются.

Легко установить для операторов иследующие коммутационные соотношения:

[] =i_kl, k, l = (x, y, z). (6.1)

Рассмотрим операторы некоторых наиболее важных физических величин. Оператор кинетической энергиичастицы с массойmв соответствии с постулатом 4 имеет вид

. (6.2)

Для оператора потенциальной энергиичастицы получаем

. (6.3)

Оператор полной энергиисистемы называютгамильтонианом. Гамильтониан частицы в потенциальном поле получаем в виде

. (6.4)

Системе частиц, взаимодействующих центральными силами, ставится в соответствие гамильтониан

. (6.5)

Оператор момента импульсачастицы имеет вид

, (6.6)

а его декартовым проекциям сопоставляются операторы:

, (6.7)

, (6.8)

, (6.9)

Для операторов проекций момента импульса выполняются коммутационные соотношения

, (6.10)

где i,k,l= (x,y,z) и образуют правую тройку. Совокупность трех соотношений (6.10) можно записать в виде одного векторного коммутационного соотношения:

. (6.11)

Оператор квадрата момента импульсачастицы определяется так:

. (6.12)

Не трудно показать, что имеют место важные в квантовой механике коммутационные соотношения, связывающие операторы квадрата и проекции момента импульса частицы:

, i = (x, y, z). (6.13)

Все рассмотренные выше операторы эрмитовы в L₂.