Движение в центрально-симметричном поле

20. Собственные функции и собственные значения оператора орбитального момента

Момент импульса частицы, связанный с его орбитальным движением, в отличие от собственного момента (спина) называют орбитальным моментом. Его оператор имеет вид

, (20.1)

где и– операторы координат и импульса частицы. С помощью операторов проекций его можно представить так:

. (20.2)

Операторы проекций орбитального момента ,ине коммутируют друг с другом, поэтому частица в данном состоянии может иметь определенное значение только одной из проекций орбитального момента. Но все они коммутируют с оператором квадрата орбитального момента:

. (20.3)

Следовательно, в определенном состоянии частица может принимать определенные значения квадрата орбитального момента и одной из его проекций. За таковую обычно принимают .

Собственные функции операторов иудобно искать в сферических координатах: радиальнойr, полярнойи азимутальной, которые связаны с декартовыми координатами соотношениями:

. (20.4)

z



y



x Рис. 20.1.

Напомним, что в сферической системе координат элемент объема выражается формулой

dV = r² d = r² dr sin d d,

где d=sindd– элемент телесного угла.

В сферических переменных оператор проекции орбитального момента имеет вид:

= –i, (20.5)

а оператор квадрата орбитального момента –

, (20.6)

где – угловая часть оператора Лапласа. (Вид операторовив сферических переменных можно найти в учебниках квантовой механики).

Легко убедиться в том, что имеет место соотношение [] = 0. Поэтому операторыиимеют общую систему собственных функций. Найдем собственные функции и собственные значения. Для этого решим уравнение

() = (), (20.7)

которое с учетом (5) принимает вид

–i() = (). (20.8)

Решение этого уравнения с разделяющимися переменными находится легко:

() =A. (20.9)

Эта функция должна удовлетворять условию однозначности

() =(+ 2). (20.10)

Подставив (9) в уравнение (10) получаем искомые собственные значения оператора проекции орбитального момента:

L_z=m, (20.11)

где m–магнитное квантовоечисло, принимающее целые значенияm= 0,1,2,3… Подставив с учетом (11) функцию (9) в условие нормировки:

, (20.12)

находим постоянную интегрирования А. В результате для нормированных собственных функций оператора проекции орбитального момента получаем выражение

. (20.13)

Уравнение для собственных функций и собственных значений оператора квадрата орбитального момента:

Y(,) =L²Y(,), (20.14)

с учетом выражения (6) можно записать в виде

Y(,) = – Y(,). (20.15)

Операторы икоммутируют, поэтому собственная функция операторасодержит в качестве множителя, зависящего от, собственную функцию оператора:

Y(,) =()() =(). (20.16)

Подставив в уравнение (15) получаем уравнение

() = 0. (20.17)

Это уравнение представляет собой обобщенное уравнение Лежандра(нужно лишь использовать замену переменной=cos). Оно имеет конечные решения только в том случае, когда собственные значения квадрата орбитального момента равны

L²=²l(l+ 1), (20.18)

где l–орбитальное квантовоечисло, принимающее значенияl= 0, 1, 2, 3, … Причем модуль магнитного числаmне может превышать значение орбитального числа:

m= 0,1,2,3, …l. (20.19)

Следовательно, данному значению квадрата орбитального момента L²соответствует 2l+ 1 значение проекции орбитального моментаL_z.

Решения уравнения (17) выражаются через так называемые присоединенные полиномы Лежандра:

_lm() =. (20.20)

Присоединенные полиномы Лежандра могут быть найдены с помощью формулы Родриго:

.

Имея в виду (13) и (16), получаем нормированные собственные функции оператора квадрата орбитального момента, называемые сферическими функциями:

Y_lm(,) =, (20.21)

которые удовлетворяют условиям ортонормированности:

. (20.22)