марго

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тверской Государственный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

а криволинейный интеграл

f (x, y)dl f (x, y(x)) 1 y (x) 2 dx .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2016

Размер:

2.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

								Рис. 16а																																	Рис. 16б
					dxdydz															2 x y											dz								2	2 x	2 x y						dz
					dxdydz								dxdy																		dz								dx dy								dz

			x y z)3																						(3		x y z)3																	(3 x y z)3
V (3			x y z)3														S					0			(3		x y z)3												0	0	0			(3 x y z)3
2			2 x				2 x y																						1			2					2 x								2 x y
dx dy (3 x y z) 3 dz																													1			dx					(3 x y z)					2			2 x y		dy
																																													0
																													2

0				0				0																								0					0
	1	2				2 x
			dx ((3 x y 2 x y) 2																										(3 x y 0) 2 )dy
	2		dx ((3 x y 2 x y) 2																										(3 x y 0) 2 )dy
	2	0					0
	1	2				2 x																											1			2	1									2 x
	1	2				2 x																											1			2	1									2 x
			dx					((5) 2				(3 x y) 2 )dy																											y	(3 x y) 1							dx
			dx					((5) 2				(3 x y) 2 )dy																											y	(3 x y) 1							dx
	2	0					0																										2			0	25									0
	1		2 1																																		25									0
	1		2 1						x) (3 x 2 x) 1 (3 x
								(2																														0) 1 dx
								(2																														0) 1 dx
	2		0 25
	1		2 2						1						1					1										1				2			7		1		1
											x												dx																	x			dx
											x												dx																	x			dx
	2		0 25 25													5 x					3										2 0						25		25		x 3
	1			7						1			x		2												2
	1			7						1			x		2												2
							x											ln( x						3)
							x											ln( x						3)
	2		25						25					2													0
			25																								0
	1			7						1				22																1
							2												ln(2 3)														( ln 3)
							2												ln(2 3)														( ln 3)
	2		25							25					2															2
	1			12										1								6				1						5
							ln 5											ln 3										ln							.
							ln 5											ln 3										ln							.
	2		25											2								25				2						3

Ответ: 256 12 ln 53.

Пример 10.		Вычислите тройной интеграл			x2 y2 dxdydz , где об-
					V
ласть V определяется неравенствами:			x2 y2 4 ,		0 z x2		y2 .
Решение. Область V ограничена круговым цилиндром								x2 y2 4 ,
плоскостью	z 0	(координатная	плоскость	Oxy )		и	параболоидом
z x2 y2	(рис. 17). Проекцией области V на плоскость						Oxy является
			круг x2 y2			22 .
				В записи уравнений по-
			верхностей			встречается выра-
			жение x2 y2 , поэтому целесо-
			образно перейти к цилиндриче-
			ским	координатам:				x cos ,
			y sin ,			z z .		Используя

		Рис. 17

область V ее границу – плоскость
z x2	y2 ). По формуле (9.9)

соотношение x2 y2 2 , запишем

уравнения поверхностей, ограничивающих область V , в цилиндрических координатах:2 4 , 0 z 2 . При перехо-

де к цилиндрическим координатам образом области V будет

область V , определяемая неравенствами: 0 2 , 0 2,

0 z 2 (прямая, параллельная оси Oz , пересекает на входе в z 0 , а на выходе – параболоид

x2 y2 dx dydz ( cos )2 ( sin )2																		d d dz

V							V
	2	2		2										2	2	1					2
	2	2												2	2
d d (cos sin )2 5dz d																	(2cos sin )2 5 z					d
d d (cos sin )2 5dz d																4	(2cos sin )2 5 z					d
	0	0	0											0	0	4				0
	1	2	2			2		5		2			1	2	2	1 cos4			7
		d (sin 2 )									d			d						d
		d (sin 2 )									d			d						d
	4	0	0										4	0	0			2
	1	2					8		2			1	2						2
	1	2					8		2			1	2						2
		(1 cos4 )							d				(1 cos4 ) 28 d 4 (1 cos4 )d
	8	(1 cos4 )					8		d			64	(1 cos4 ) 28 d 4 (1 cos4 )d
	8	0					8		0			64	0						0
			sin 4		2				0


	4						4 2 8 .
	4						4 2 8 .
			4		0
					0

Ответ: 8 .

Пример 11.	Вычислите тройной интеграл	11(x2 y2 z 2 )4 dxdydz ,
		V
где область V –	часть шара x2 y2 z2 4 ,	расположенная в	первом
октанте.
	Решение. Область V – часть шара
	(рис. 18), поэтому при вычислении
	интеграла	воспользуемся	пере-

						ходом к сферическим координатам:
							x sin cos ,										y sin sin ,
						z cos .								При		этом		область	V
						перейдет в область										V , определяемую
						неравенствами:									0			, 0 ,
						0 2 .											2		2
						0 2 .								Используя соотношение
						x2 y2 z2								2	и		формулу (9.10),
						получим:
	Рис. 18					получим:
	Рис. 18

11(x2	y 2	z 2 )4 dxdydz 11 ( 2 )4 2 sin d d d

V					V
												2
2	2	2		2		2				11		2		2		2
11 d d 10 sin d 11 d sin													d d 211 sin d

									11
0	0	0		0		0			11			0		0		0
												0

2				2				2					2 .
2 cos		02 d 2		d 2			0	2					2 .
11			11	11			2	11						10
							2
0				0							2
0				0							2
Ответ: 210 .
Пример 12. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела,
ограниченного поверхностями: z = 0,								x2 + y2				= 1, x + y + z =3. Сделайте
чертежи данного тела и его проекции на плоскость Oxy .
Решение. Тело,			ограниченное плоскостями z = 0,														x + y + z		= 3
и цилиндром x2 +			y2 = 1, изображено								на			рис. 19a. Его проекцией
на плоскость Oxy является круг радиусом r														= 1	(рис.		19б). Согласно
формуле (9.11) объем данного тела
						3 x y
	V dxdydz dxdy						dz (3 x y)dxdy .
		G		S			0		S
Линия, ограничивающая					плоскую				область						S ,	есть		окружность

x2 y2 1, поэтому воспользуемся переходом к полярным координатам: x cos ; y sin ; dxdy d d .

Рис. 19б

Рис. 19а

Имеем:

2 1

V d (3 cos sin ) d

		0	0
	2 3 2				3		1
	2 3 2				3		1
=						(cos sin )	d
=						(cos sin )	d
	0	2			3		0
	2	3	1				0
	2	3	1
				(cos sin ) d 3 .
				(cos sin ) d 3 .
		2	3
	0

Ответ: V = 3 .

§3. Криволинейные интегралы

3.1.Понятие криволинейного интеграла первого рода

иего основные свойства

Благодарность – признак благородства души.

Эзоп

Криволинейный интеграл – обобщение понятия обычного интеграла для функций, заданных на кривых линиях. Понятие криволинейного интеграла первого рода возникает при решении задачи нахождения массы некоторой плоской кривой L , по которой рассредоточена некоторая плотность f (x, y) , меняющаяся от точки к точке.

Пусть функция f(x, y) непрерывна в каждой точке M(x; y) линии L. Разобьем эту линию произвольным образом на n частичных дуг L1 ,

L2 , …,

Ln длиной

l1 ,

l2 , …, ln

соответственно, выберем

на каждой

из них по одной произвольной точке: M1 (x1 , y1 ) ,

M 2 (x2 , y2 ) , …, M n (xn , yn ) .

Сумма

f (x1, y1) l1

f (x2 , y2 ) l2 ... f (xn , yn ) ln

f (xi , yi ) li

назы-

i 1

вается интегральной суммой функции f(x, y) по линии L.

Криволинейный интеграл первого рода

Пусть max li

– наибольшая из длин дуг деления.

1 i n

Криволинейным интегралом

первого рода

f (x, y)dl

от

функ-

ции f(x, y),

взятым по плоской линии L, называется предел интегральной

суммы

lim

f (xi , yi ) li

при

стремлении к нулю

, если этот

предел

i 1

существует и не зависит от способа разбиения линии

на частичные

дуги Li

и выбора точек M i (xi , yi ) в них.

Аналогичным образом вводится понятие криволинейного интеграла

по пространственной линии L .

Свойства криволинейного интеграла первого рода

1. При изменении направления интегрирования

криволинейный

интеграл

первого

рода

не

изменяет

своего

знака,

т. е.

f (x, y) dl f (x, y) dl ,

где

L+ –

линия L,

пробегаемая

заданном

направлении; L– – линия L, пробегаемая в противоположном направлении.

2.Если линия L с помощью некоторой точки разбита на части: L =

=L1 L2, то f (x, y) dl f (x, y) dl f (x, y) dl (свойство аддитивности).

		57
3. Свойства	линейности:
а) c f (x, y) dl c f (x, y) dl , c const;
L	L
б) f (x, y) g(x, y) dl f (x, y) dl g(x, y) dl.
L	L	L

3.2. Правила вычисления криволинейного интеграла первого рода

Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводят к вычислению определенного интеграла.

	1. Если линия L задана непрерывно дифференцируемыми функция-
ми	x x(t) ,			y y(t) ,		t [ ;	],	то дифференциал длины дуги

dl			2		2
dl		x (t)		y (t) dt , а криволинейный интеграл выражается через
обычный определенный интеграл по формуле

				f (x, y)dl f x(t), y(t)					x (t) 2 y (t) 2 dt .
				L

2. Если линия L задана непрерывно дифференцируемой функцией y y(x), a x b, то

3.Если линия L задана непрерывно дифференцируемой функцией

x( y) , c y d , то

						d
dl			2	dy ;	f (x, y)dl f ( y), y		2
dl	1 ( y)			dy ;	f (x, y)dl f ( y), y		1 ( y) dy .
					L	c
4. Если линия L задана в полярной системе координат непрерывно
дифференцируемой функцией						( ) , , то

dl		2 2 d ;			f ( , )dl f , ( )		2 2 d .
					L
Примечание. Если линия						L является отрезком оси Ox или оси Oy ,

то криволинейный интеграл совпадает с обычным определенным интегралом.

3.3.Понятие криволинейного интеграла второго рода

иего основные свойства

Понятие криволинейного интеграла второго рода возникает при решении задачи о вычислении работы переменной силы при перемещении материальной точки вдоль некоторой линии.

Пусть P(x, y) и Q(x, y) – функции двух переменных, непрерывные в

каждой точке M(x; y) линии L . Разобьем линию L произвольным образом на n участков L1 , L2 , …, Ln и в каждом таком участке выберем по одной

произвольной точке M1 (x1 , y1 ) , M 2 (x2 , y2 ) , …, M n (xn , yn ) . Обозначим

проекции i -го участка на координатные оси Ox и Oy	через xi и yi
соответственно, а длину участка Li – через li . Сумма
n
P(xi , yi ) xi Q(xi , yi ) y	(9.12)
i 1
называется интегральной суммой. Обозначим через	наибольшую
из длин участков Li ( i 1, 2, ..., n ).

Криволинейным интегралом второго рода P(x, y)dx Q(x, y)dy от

пары функций P(x, y) и Q(x, y), взятым по линии L, называется предел

интегральной суммы (9.12) при стремлении к нулю , если этот предел существует и не зависит от способа разбиения линии L на частичные дуги Li и выбора точек Mi (xi , yi ) в них.

Криволинейный интеграл второго рода иногда называют криво-

линейным интегралом по координатам.

Свойства криволинейного интеграла второго рода.

1. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл второго рода изменяет свой знак:

P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy .

L		L
Через L и L обозначена линия L при двух ее взаимно противо-
положных направлениях.
2. Если линия L с	помощью	некоторой точки разбита на части
(свойство аддитивности): L L1 L2 , то
P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy .
L	L1	L2

Часто встречаются ситуации, когда криволинейный интеграл второго рода вычисляется по замкнутому контуру; такие криволинейные интегралы называют циркуляцией и обозначают символом . В случае

замкнутого контура на плоскости направление обхода, при котором область, ограниченная контуром, остается слева, называют положительным (обход совершается против часовой стрелки). Обход в противоположном направлении (по часовой стрелке) называют отрицательным.

При положительном направлении обхода криволинейный интеграл обозначается как , а при отрицательном – как .

3.4. Вычисление криволинейного интеграла второго рода

Вычисление криволинейного интеграла второго рода сводится к вычислению обыкновенных определенных интегралов.

1. Для того чтобы		криволинейный интеграл второго рода
P(x, y)dx Q(x, y)dy ,	взятый	по линии L, заданной параметрическими
L
уравнениями x x(t) ,	y y(t) , t [ ; ], преобразовать в обыкновенный,

необходимо в подынтегральном выражении заменить все величины их

выражениями через t : x x(t) ,	y y(t) ,
		dx x (t)dt ,	dy y (t)dt .

Вычислим полученный интеграл по интервалу изменения параметра t :


J P(x, y)dx Q(x, y)dy P x(t), y(t) x (t) Q x(t), y(t) y (t) dt .
L
2. В случае явного	задания линии L		на плоскости уравнением
		вычисление	криволинейного интеграла
y = y(x), x [a; b], dy y (x)dx		вычисление	криволинейного интеграла

второго рода сводится к вычислению определенного интеграла:

	b
J P(x, y)dx Q(x, y)dy P x, y(x) Q x, y(x) y (x) dx .
L	a
3. Если линия интегрирования		L – отрезок прямой	y c,	x [a; b],
параллельной оси Ox , то dy 0 и
		b
	J P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x,c) dx .
	L	a
4. Если линия интегрирования L – отрезок прямой			x a,	y [c; d],
параллельной оси Oy , то dx 0 и
		d
	J P(x, y)dx Q(x, y)dy Q(a, y) dy .
	L	c

Примечания.

1.Если отдельные участки линии интегрирования L заданы различными уравнениями, то линию нужно разбить на участки, вычислить интеграл по каждому из них и сложить полученные результаты.

2.Криволинейный интеграл по пространственной линии L определяется аналогично.

3.5. Приложение криволинейных интегралов

Как правило, криволинейный интеграл зависит от линии интегри-

рования. Взятый вдоль разных линий, соединяющих точки A и B, он будет иметь различные значения. Если же в некоторой области D выражение P(x, y)dx Q(x, y)dy является полным дифференциалом некоторой

функции	u(x, y), то криволинейный	интеграл Pdx Qdy не	зависит
		AB
от линии интегрирования, соединяющей точки A и B:
	Pd x Qd y Pd x Qd y
	L1	L2
( L1 и L2	– две произвольные гладкие линии, соединяющие точки		A и B ).

Криволинейный интеграл, взятый по любой замкнутой линии, пролегающей в области D, равен нулю.


Выражение P(x, y)dx Q(x, y)dy будет полным				дифференциалом
функции u(x, y) в некоторой области D, если			и функции P, Q,			,
функции u(x, y) в некоторой области D, если	Py	Qx	и функции P, Q,		Py	,


Qx непрерывны в этой области.
Полный дифференциал некоторой функции u(x, y) с помощью
криволинейного		интеграла	вдоль	ломаной ABM		A(x0 ; y0 ), B(x; y0 ),
M (x; y)
			x	y
	u du C P(x, y0 ) dx Q(x, y) dy C .
		ABM	x0	y0
Полный дифференциал некоторой функции					u(x,	y, z) с помощью
криволинейного интеграла вдоль ломаной ABKM					A(x0 ; y0 ; z0 ), B(x; y0 ; z0 ),
K(x; y; z0 ), M (x; y; z)
		x		y	z
u	du C Fx (x, y0 , z0 ) dx Fy (x, y, z0 ) dy Fz (x, y, z) dz C .
	ABKM	x0		y0	z0

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру связан с двойным интегралом по области, ограниченной данным контуром формулой Грина.

Пусть контур	L	ограничивает	область D . Если в этой области
заданы непрерывные функции P(x, y)			и Q(x, y) , имеющие непрерывные
частные производные
частные производные	Py	и Qx , то справедлива формула Грина:

		x	y			Pdx Qdy .
		Q P dxdy				Pdx Qdy .
	D				L
Примечания.
1.	Граница области проходит таким образом, что область D остается
слева от нее.
2.	Выполнение условия
2.	Выполнение условия		Py	Qx позволяет заменить сложный контур

более простым.

3. Из формулы Грина следует, что если в криволинейном интеграле

Pdx Qdy выполнено условие			, то он равен нулю.
Pdx Qdy выполнено условие	Py	Qx	, то он равен нулю.
L

С помощью криволинейных интегралов вычисляются величины: 1) длина дуги AB плоской или пространственной линии lAB dl ;

2) площадь фигуры, расположенной в плоскости xOy и ограниченной замкнутой линией C:

S 1 xdy ydx ;

2 C

3) масса m материальной линии L с линейной плотностью (x, y) :

m dl	(9.13)
L

(в этом состоит физический смысл криволинейного интеграла первого рода);

4) координаты центра тяжести C(xc , yc , zc )

материальной линии L с

линейной плотностью f (x, y) :

x (M )dl

y (M )dl

z (M )dl

, y

;

5) работа A, совершаемая силой F{P; Q; R} , действующей на точку при перемещении ее по дуге L:

A Pdx Qdy Rdz

(в этом состоит физический смысл криволинейного интеграла второго рода).

Пример 13. Вычислите криволинейный интеграл:

J x2 ydl ,

где L – дуга окружности x2

y2 9 , расположенная

в третьем квадранте;

J (2x y2 )dl ,

где

L –

контур

треугольника

с вершинами

A(2, 0),

B(4,0) , C(4, 4);

J 6x2 dl ,

где L

– дуга кривой y ln x

между точками x 3

и x 8 .

Решение.

Запишем уравнение дуги окружности x2 y2 9

в параметри-

ческом виде:

x 3cost ,

y 3sint , t ;3

2 . Тогда

x 3sin t ,

y 3cost, а дифференциал длины дуги

3sin t

x (t) y (t) dt

3cost dt 3dt .

Используя параметрические уравнения дуги окружности и выражение дифференциала длины дуги, полученное выше, преобразуем данный криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с переменной t :

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.03.20161.61 Mб15ЛР_9.doc
#
19.05.2015293.89 Кб33М по электротехнике.doc
#
19.03.2016204.16 Кб122МTSP_Poyasnitelnaya_zapiska1) (Автосохраненный).docx
#
01.05.20251.63 Mб0Магомадов[1].doc
#
09.11.20193.36 Mб9Маковельский А.О. - История логики.doc
#
19.03.20162.83 Mб16марго.pdf
#
23.04.2019583.68 Кб17Маркетинг Семенов Н.А..doc
#
28.04.2019347.65 Кб58маркетинг УП, СКСТ, СОЦ.doc
#
01.04.2025170.83 Кб2маркетинг-1.docx
#
19.03.20161.5 Mб229масленников тепловой расч.doc
#
01.04.20251.27 Mб2Мат.ст._сб.задач.doc