Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

марго

.pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
19.03.2016
Размер:
2.83 Mб
Скачать

2

УДК 51(075.8) ББК 22.1.я7

Рецензенты: кандидат физико-математических наук доцент кафедры информатики и прикладной математики ТвГТУ Пиджакова Л.М.; кандидат физико-математических наук доцент кафедры математических методов современного естествознания ТвГУ Чемарина Ю.В.

Балашов, А.Н. Практикум по математике для студентов заочной формы обучения / А.Н. Балашов, М.А. Шестакова. Ч. II. Тверь: Тверской государственный технический университет, 2015. 120 с.

Предназначен для студентов заочной формы обучения и особенно для тех, кто самостоятельно изучает высшую математику и желает приобрести необходимые навыки в решении задач.

Для каждого раздела приведены краткие теоретические сведения и методические указания, необходимые для решения задач.

Разобраны примеры типичных задач с краткими пояснениями теоретических положений.

ISBN 978-5-7995-0768-8

© Тверской государственный

 

технический университет, 2015

 

© Балашов А.Н., Шестакова М.А., 2015

 

3

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Глава 7. Ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

§ 1. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные

 

признаки сходимости рядов с положительными членами. . . . . . . . .

5

§ 2. Абсолютная и неабсолютная сходимость знакопеременного ряда.

 

Признак сходимости знакочередующегося ряда. . . . . . . . . . . . . . . . .

11

§ 3. Функциональные ряды. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

§ 4. Применение рядов к приближенным вычислениям . . . . . . . . . . . . .

19

§ 5. Тригонометрические ряды. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

.

 

24

Глава 8. Элементы гармонического анализа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

 

 

§1. Периодические функции. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

§2. Гармонические колебания. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

§ 3. Ортогональные функции. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

.

 

 

§ 4. Ряд Фурье. Теорема Дирихле. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

.

 

31

Глава 9. Кратные интегралы. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 1. Двойные интегралы. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1.1. Понятие двойного интеграла и его основные свойства. . . . . . . . .

31

. . . .

 

 

1.2. Методы вычисления . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

1.3. Приложения двойного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

§ 2. Тройные интегралы . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.1. Понятие тройного интеграла и его сновные свойства . . . . . . . . . .

47

. .

 

 

2.2. Вычисление тройного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.3. Приложения тройного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

§ 3. Криволинейные интегралы . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.1. Понятие криволинейного интеграла первого рода

 

и его основные свойства . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

. . . .

 

 

3.2. Правила вычисление криволинейного интеграла первого рода

57

3.3. Понятие криволинейного интеграла второго рода

 

и его основные свойства . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

. .

 

 

3.4. Вычисление криволинейного интеграла второго рода. . . . . . . . . .

59

.

© Балашов А.Н., Шестакова М.А.

 

 

 

4

 

 

3.5. Приложение криволинейных интегралов. . . . . . . . . . .

. . . . . . .

59

Глава 10. Теория вероятностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

66

§ 1. Основные понятия теории вероятностей. Событие.

 

 

Вероятность события. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

66

§ 2. Классическое, статистическое и геометрическое определения

 

вероятности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

68

§ 3. Основные формулы комбинаторики. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

72

.

 

 

§ 4. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

. . . . . . . .

77

§ 5. Теорема умножения вероятностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

79

§ 6. Вероятность появления хотя бы одного события. . . . . . . .

. . . . . . . .

83

§ 7. Теорема сложения вероятностей совместных событий. . .

. . . . . . .

84

§ 8. Формула полной вероятности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

86

§ 9. Вероятность гипотез. Формулы Байеса. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

89

§ 10. Формула Бернулли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

91

§ 11. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. . . . . . . . . .

. . . . . . .

92

§ 12. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной

95

вероятности в независимых испытаниях. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

 

.

 

 

§ 13. Случайная величина. Законы распределения дискретных

96

и непрерывных случайных величин. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

 

.

 

 

§ 14. Числовые характеристики дискретных случайных величин. . . . . .

99

.

 

 

§ 15. Функция распределения случайной величины. . . . . . . . .

. . . . . . .

105

§ 16. Плотность распределения вероятностей непрерывной

 

107

случайной величины. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

 

§ 17. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. . . .

108

.

 

 

§ 18. Закон равномерного распределения вероятностей. . . . .

. . . . . . . .

110

§ 19. Закон нормального распределения вероятностей. . . . . .

. . . . . . . . .

112

.

 

 

§ 20. Закон показательного распределения вероятностей. . . .

. . . . . . . . .

115

Приложения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

117

Библиографический список. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

119

. . . . . . . . . .

 

 

5

ГЛАВА 7. РЯДЫ

§ 1. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Разве ты не заметил, что способный к математике

изощрен во всех науках в природе?

Платон

Последовательность считается заданной, если известен закон, по которому можно вычислить любой ее член an при данном n.

Определение 1. Числовым рядом называется выражение

 

 

a1 + a2 + … + an + … = an ,

(7.1)

n 1

где a1, a2, …, an, …, называемые членами ряда, образуют числовую последовательность.

Определение 2. Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда:

Sn = a1 + a2 + … + an.

Определение 3. Числовой ряд (7.1) называется сходящимся, если существует конечный предел частичных сумм:

S lim Sn ,

n

называемый суммой сходящегося ряда. Если предел не существует, то ряд (7.1) называется расходящимся.

Свойства сходящихся рядов

1.На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его

членов.

2.Если ряд (7.1) сходится и его сумма равна S, то ряд сa1 + сa2 + … +

+сan + …, где с – любое число, также сходится и его сумма равна сS.

3. Если ряды (7.1) и b1 + b2 + … + bn + … сходятся и их суммы равны S1 и S2 соответственно, то ряды (a1 + b1) + (a2 + b2) + … +

+ (an + bn) + … и (a1 – b1) + (a2 – b2) + … + (an – bn) + … также сходятся и их суммы равны S1 + S2 и S1 – S2 соответственно.

Признаки сходимости числовых рядов

Необходимый признак сходимости. Ряд может сходиться лишь при условии, что общий член ряда an при n + стремится к нулю:

lim an 0 .

n

Следствие. Если общий член ряда an при n + не стремится к нулю, то ряд расходится.

6

Признак Даламбера. Если в ряде (7.1) с положительными членами отношение (n + 1)-го к n-му члену при n + имеет предел , т. е.

lim an 1 , то при < 1 ряд сходится, при > 1 или = – расходится.

n an

При = 1 вопрос о сходимости ряда решается с использованием других признаков.

Примечание. Если = 1, но отношение

an 1

для всех номеров n,

 

 

an

начиная с некоторого, больше единицы, то ряд расходится.

Признак сравнения рядов. Если ряд с положительными членами a1 + a2 + … + an + … (a) сравнить с другим рядом с положительными членами b1 + b2 + … + bn + … (b), сходимость или расходимость которого известна, и если начиная с некоторого номера n:

1)an bn и ряд (b) сходится, то и ряд (a) также сходится;

2)an bn и ряд (b) расходится, то и ряд (a) расходится.

Предельный признак сравнения рядов. Если существует конечный

предел

lim

an

, не равный нулю, то ряды (a) и (b) ведут себя одинаково,

 

 

 

n bn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т. е. либо оба сходятся, либо расходятся.

 

 

 

 

 

 

При использовании признака сравнения исследуемый ряд (a)

часто

сравнивают

 

 

или

с

бесконечной геометрической

прогрессией

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + q + q2 + … =

 

 

 

qn ,

которая при 0 < q < 1 сходится, при

q 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

расходится, или с расходящимся гармоническим рядом 1

 

...

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

n 1 n

 

 

 

1

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или с рядом

 

 

 

 

...

1

, который сходится при p > 1 и рас-

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

1

p

2

 

3

p

 

n 1 n

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ходится при p 1.

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ряд вида n 1

 

k

 

 

, где k – степень многочлена Pk (n), m – степень

 

Q

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

многочлена Qm (n), сходится, если m k > 1, и расходится, если m k ≤ 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что следует из предельного признака сравнения с рядом

1

,

p m k .

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

Pk (n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично ряд

вида

 

 

 

 

 

 

с учетом области

 

допустимых

j

 

 

 

 

 

Q (n)

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значений сходится при

 

m

 

k

1

 

и расходится при

m

 

k

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

i

 

 

 

 

 

 

j

 

 

i

 

 

 

7

Радикальный признак Коши. Если для ряда с положительными членами (a) величина nan имеет конечный предел при n + , т. е.

 

 

 

,

то при < 1 ряд сходится,

при > 1 – расходится. При

lim n a

n

n

 

 

 

 

 

 

 

= 1 вопрос о сходимости ряда решается с использованием других признаков.

Радикальный признак Коши обычно применяется, когда общий член ряда an содержит показательно-степенную функцию вида (f(n))g(n).

Интегральный признак Коши. Ряд с положительными убывающими членами an = f(n) сходится или расходится, смотря по тому, сходится или

расходится несобственный интеграл f (x)dx , где f(x) – непрерывная

c

убывающая функция; с – любое положительное число из области определения f(x). Этим признаком можно пользоваться, когда выражение общего члена an = f(n) имеет смысл не только для целых положительных значений n. Эффективность признака зависит от сложности вычисления несобственного интеграла.

Пример 1. Проверьте, выполняется ли необходимый признак сходимости для ряда:

1)

3

4

 

5

 

6

...;

2)

4

7

 

10

 

13

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

5

7

4

9

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Необходимый признак сходимости будет выполняться, если предел общего члена ряда при n + стремится к нулю:

lim an 0 .

n

1. Числитель первого члена ряда равен трем, а каждый последующий член ряда увеличивается на единицу, т. е. равен n + 2.

Знаменатель первого члена ряда равен единице, а каждый последующий член ряда увеличивается на две единицы, т. е. равен 2n – 1. Следовательно, общий член ряда имеет вид

an n 2 . 2n 1

Проверим:

a1 13 , a2 43 , a3 55 , a4 76 ,...

Используя правило Лопиталя, найдем предел общего члена ряда при неограниченном увеличении его номера:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim a

 

lim

n 2

lim

n 2

 

1

0 .

n

 

 

 

 

n

n

2n 1

 

 

n

2n 1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

Необходимый признак сходимости не выполняется, следовательно, ряд расходится.

2. Числитель первого члена ряда равен четырем, а каждый последующий член ряда увеличивается на три единицы, т. е. равен

3n + 1.

Знаменатель каждого члена ряда получается возведением в квадрат номера члена ряда, т. е. равен n2. Следовательно, общий член ряда имеет

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

3n 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

4

; a

 

 

7

; a

 

10

;

a

 

 

13

;...

 

 

 

 

 

2

 

 

4

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

4

3

9

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя правило Лопиталя, найдем предел общего члена ряда

при неограниченном увеличении его номера:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim a

 

lim

3n 1

 

lim 3n 1

lim

3

0 .

n

 

 

n

n

n

2

 

 

n

n2

 

n

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Необходимый признак сходимости выполняется.

Ответ: для первого ряда необходимый признак сходимости не выполняется, а для второго ряда – выполняется.

Пример 2. Исследуйте сходимость числового ряда an :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

3n 1

 

 

 

 

n!

 

n3

 

 

1

 

1)

 

 

 

;

 

2)

 

 

 

;

3)

 

;

4)

 

;

5n 3

 

2n

3n

(n 1)(n 2)

 

n 1

 

 

 

n 1

 

n 1

 

n 1

 

 

 

1

 

 

 

 

n

n 2

 

 

 

 

 

5)

 

 

 

 

 

;

6)

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1 n ln 2 n

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

1. Найдем предел общего члена ряда при неограниченном увеличении его номера n:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3n 1

 

 

(3n 1) : n

 

 

3

 

 

 

 

 

 

3

.

lim a

 

lim

 

lim

lim

 

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n 5n 3

n (5n 3) : n

n

 

3

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

Необходимый признак

сходимости lim an

0 не

выполняется,

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значит, данный ряд расходится.

9

2. Общий член ряда an n! содержит факториал и показательную

2n

функцию, поэтому воспользуемся признаком Даламбера. Вычислим an+1,

заменив в выражении n-го члена n на n + 1: an 1

 

(n 1)!

. Затем найдем

2n 1

 

 

 

 

предел:

 

 

 

 

lim

a

n 1

lim

(n 1)!2n

lim

 

n!(n 1) 2n

lim

n 1

, = ∞.

 

 

n! 2n 1

 

 

n! 2n 2

2

 

n

a

n

n

 

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Согласно признаку Даламбера данный ряд расходится.

3. Общий член ряда a

 

 

n3

 

есть дробь,

в числителе которой на-

n

3n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ходится степенная функция, а в знаменателе – показательная функция, поэтому воспользуемся признаком Даламбера. Найдем an+1, заменяя в выражении n-го члена n на n + 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an 1

 

(n 1)

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предел

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

an 1

lim

(n 1)3 3n

 

lim

n 1

 

3 3n

lim 1

1 3

1

 

1

, < 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n3 3n 1

 

 

 

 

 

 

3n 3

 

 

 

 

 

 

n

an

n

 

n n

 

 

n

n

3

3

Согласно признаку Даламбера ряд сходится.

 

 

 

 

 

 

4.

Каждый член

an

1

 

 

 

 

данного ряда меньше соответ-

 

 

 

 

 

 

(n 1)(n 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ствующего члена b

 

1

 

сходящегося ряда, следовательно, согласно при-

 

 

 

 

 

n

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

знаку сравнения данный ряд сходится.

5. Несобственный интеграл от непрерывной и убывающей функции f(x) с бесконечным верхним пределом вычислить несложно. Воспользуемся интегральным признаком Коши при условии, что нижний предел равен двум или любому другому числу, большему единицы:

 

dx

 

d (ln x)

 

A d (ln x)

 

1

 

A

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

.

x ln

2

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

x

2

ln

 

x

A

2

ln

 

x

A

ln x

 

2

A

 

ln A

 

ln 2

 

 

ln 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Несобственный интеграл сходится, т. е. согласно интегральному признаку Коши данный ряд сходится.

6. Общий член ряда содержит показательно-степенную функцию,

значит, применим радикальный признак Коши:

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

 

 

1 n

 

1

 

 

 

 

 

 

lim n an

lim

 

 

 

lim 1

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

e

n

n n 1

 

n

 

n

 

 

10

Согласно радикальному признаку Коши ряд сходится. Ответ: 3–6-й ряды сходятся, 1-й и 2-й – расходятся.

Пример 3. Укажите сходящиеся числовые ряды:

 

n

 

1)

;

 

2n3 n

n 1

 

Решение. Для

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

2)

 

 

 

; 3)

 

 

 

;

 

4)

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 n 2

 

3 n3 2n

 

4 n5 2n4 4

n 1

 

 

n 1

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

P (n)

i

 

Pk (n)

 

 

 

 

 

рядов вида

 

 

k

 

и

 

 

 

 

 

 

 

воспользуемся

 

Q (n)

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

Q (n)

 

 

 

 

n 1

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

предельным признаком сравнения рядов (см. с. 6).

Для первого ряда m = 3, k = 1, m k = 2 > 1, ряд сходится.

Для второго ряда m = 1/7, k = 0, m k = 1/7 1, ряд расходится. Для третьего ряда m = 3/3 = 1, k = 0, m k = 1 1, ряд расходится. Для четвертого ряда m = 5/4, k = 0, m k = 5/4 > 1, ряд сходится.

Ответ: 1) и 4).

Пример 4. Укажите сходящийся числовой ряд:

 

 

3

n

 

1)

 

 

;

 

n 1

 

2

 

Решение. Ряд

 

 

 

2 n

n

 

3

 

2)

 

 

;

3)

 

 

;

4) arctg 5n.

 

 

 

 

n 1

 

3

n 1 n

2

n 1

 

3

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

является суммой бесконечно возрастающей

 

 

 

n 1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

геометрической прогрессии

3

1

, следовательно, ряд расходится.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ряд

 

 

 

 

 

 

 

 

является суммой бесконечно убывающей геометри-

 

 

 

 

 

n 1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ческой прогрессии

 

2

1 , следовательно, ряд сходится.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

Ряды

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

arctg 5n расходятся, так как для них не вы-

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

n

2

 

 

n 1

 

 

 

 

 

полняется необходимое условие сходимости числового ряда:

 

 

n

 

3

 

 

 

 

 

 

1

 

3

1 0 ; lim arctg5n

 

0 .

lim

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n n 2

 

 

n 1

2 / n

n

2

 

Ответ:

2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

§ 2. Абсолютная и неабсолютная сходимость знакопеременного ряда.

Признак сходимости знакочередующегося ряда

Из двух ссорящихся более виновен тот, кто умнее.

Иоганн Гете

Определение 4. Знакочередующимся числовым рядом (знаки членов которого строго чередуются) называется ряд вида

 

 

a1 – a2 + a3 – a4 + … = ( 1)n 1 an ,

 

n 1

 

или

 

 

 

– a1 + a2 – a3 + a4 … = ( 1)n an ,

(7.2)

n 1

 

где a1, a2, a3, … – положительные числа.

 

Признак Лейбница. Если в знакочередующемся

ряде (7.2) члены

таковы, что a1 > a2 > a3 … и lim an 0 , то данный ряд сходится, его сумма

n

положительна и не превосходит первого члена.

Признак Лейбница справедлив, если неравенства выполняются, начиная с некоторого номера N.

Ошибка при замене суммы ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, суммой нескольких его первых членов меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов.

Определение 5. Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Определение 6. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных значений его членов.

Определение 7. Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный знакопеременный ряд называется условно или неабсолютно сходящимся рядом.

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов

1.

Если ряд сходится абсолютно,

то он остается абсолютно схо-

дящимся при любой перестановке его

членов, при этом сумма ряда

не зависит от порядка его членов.

 

2.

Если ряд сходится условно, то,

какое бы мы ни задали число M,

члены

этого ряда можно переставить

так, что его сумма окажется

в точности равной M. Более того, возможна такая перестановка членов условно сходящегося ряда, что ряд, полученный после перестановки, будет расходящимся.