Математика переменных величин

Период элементарной математики закончился когда центр стал переноситься в область переменных величин. Создание новой математики переменных величин занимались ученые стран Западной Европы. Считается что современная математика возникла в 17 веке как наука тесно связанная с созданием математического естествознания имеющего целью объединить течение отдельных природных явлений действием общих математически сформулированных законов природы. Ученные считали что геометрия является отражением пространства а арифметика является отражением времени. Рене Декард заложил основы аналитической геометрии путем объеденения алгебры начала 17 века с геометрией древних греков. Он написал работу Теоиретрия. В ней заложены основы координатного метода, что и положило начала аналитической геометрии. Геометрические построения теперь можно было осуществлять в алгебраической форме и наоборот и до сего времени координатный метод является одним из основных в здании математики и ее приложениях. Благодаря появлению декартовой переменной величины в математику вошло движение. В результате появилось дифферинциальное и интегральное исчисление. Такое исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем. Это считается революцией в математике и в науке в целом.

Лейбниц ввел понятие дифферинциала как бесконечного малое превращение функции и правило построенные Лейбницем обеспечили правильное решение очень широкого класса задач. С тех пор дифф. исчисление становится одной из самых продуктивных частей математики, хотя логическое обоснование этого факта было дано только в 19 веке. Была проведена унификация СИ систем мер на десятичной основе. Появились десятичные дроби. В 17 веке были изобретены логарифмы, которые были ориентированы на приближенное вычисление, которые забыли со времен Архимеда.

Таким образом постепенно образовалось целое направление «Приближенные метоеы анализа».

Под влиянием развития страхового дела и артиллерии возник интерес связанный со случайными событиями. В результате появляется еще одна математическая наука, а именно «Теория вероятностей» основателем которой является Паскаль.

Таким образом в 18 веке деятельность математиков сосредоточилась на решении проблем Теории вероятностей и математического анализа. В этот период работают такие знаменитые математики как: братья Бернулли, Даланберм, Лагранж, Лаплас, Эйлер. Труды этих ученых до сих пор изучаются в школах и университетах.

В начале 19 века произошло событие которое перевернуло взгляды всех ученных математиков. Русский ученный Николай Лобачевский показал что аксиома Евклида о параллельных независима от других аксиом то есть не выводима из них. Таким образом можно построить другую геометрию такую же не противоречивую как и Евклидова геометрия. Для этого необходимо заменить аксиому о параллельных на противоположную ей, а именно через точку на плоскости в не лежащей на этой плоскости прямой можно провести не только одну параллельную этой прямой. Благодаря появлению не Евклидовой геометрии была понята возможность создания существенно новых математических теорий путем правильно выполненной абстракции от налогавшихся ранее ограничений не имеющих внутренне логической необходимости. Важнее значение появления не Евклидовой геометрии состоит в том, что ее открытие явилось исходным пунктом и основным стимулом в понимании природы математических знаний. Но только в начале 20 века в основу математики было положено понятие не противоречивости системы высказываний основанных на не явных определениях. Это радикальным образом отличалось от предшествующих точек зрения. Утверждалось что всякая формально аксиоматическая теория может строиться по чистым законам логики без ссылок на какой-нибудь внешний смысл. Одним из основателей такой точки зрения стал Гильберт. Суть его формализма заключается в том, что математика в отличии от химии или физики есть наука точная. Она находится над опытными науками. Математика это набор формальных знаковых моделей для теоретического знания, которые связанны с опытом через другие науки. По отношению к опыту математика выступает как язык, который устанавливает связь между эмпирическими высказываниями. Единство математики обеспечивается исключительно методом а не предметом исследования. Все что подается формулировке на точном языке может быть изучено в своей логической форме с отвлечением от конкретного содержания. Например можно сказать что между геометрией и арифметикой отличия не являются существенными. Математика – это логически организованная система понятий для существования которой важна лишь ее дедуктивная трансформирующая функция.

В середине 20 века сформировала интуциониское направление математики. Его основу составляет понимание процесса в построении математического объекта. Согласно точке зрения математический объект существует если он дан интуитивно или может быть сконструирован мысленно построен с помощью интуитивно ясных операций над интуитивно ясными элементами. В настоящее время существует целое направление в математике под названием «Конструктивизм» в рамках которого получены очень интересные и важные практические результаты. В настоящее время сформировались следующие основные философские взгляды на математическую науку:

1. Ценность математических теорий состоит в их способности выполнять функцию вывода именно по-тому перед математикой выдвигается требование не противоречивости

2. Единая программа обоснования математики в настоящее время невозможна. Имеется очень много способов каждый из которых имеет определенную ценность.

3. Математика так же далека от свой окончательной обоснованности, как и всякое другое знание.

Приложения математики

Математика возникла как чисто прикладная наука и в настоящее время ее основной задачей является изучение окружающего нас реального мира. Возникла необходимость в математическом моделировании. Математическое моделирование – это связующее вещество между математикой и другими науками. Существует две основные схемы математического моделирования.

1. Состоит в том чтобы подобрать из уже известных математических моделей ту которая подходит для решения поставленной задачи. То есть у ученого есть готовый инструмент который позволяет эффективно использовать все известные математические методы.

2. Вторая схема особенно подходит для гуманитарных наук. Согласно этой схеме исследователь сам строит математическую модель рассматриваемого объекта. При этом он должен обладать достаточными математическими знаниями чтобы решить весь комплекс задач, который включает в себя вопросы адекватности, точности и реализуемости моделей.

В математике как и в другой науке большую роль играет интуиция. Существует три вида интуиции:

1. Эмпирическая интуиция. Она появляется на основе длительного общения с определенными объектами.

2. Конструирующая интуиция. Это акт конструирования объекта в свете потребляемых к нему сведений.

3. Интеллектуальная интуиция. Это нечто статическое, достаточно общезначимое, заданное с самого начала как постоянный факт сознания, как некоторая предпосылка всякой другой формы очевидности.

Большую роль играет математический язык как одно из основных средств понимания друг другом человеческой деятельности. Одним из основных вещей эффективного моделирования в целом и качественного изучения объекта моделирования, в частности, является предвидение, которое в зависимости от степени конкретности и характера воздействия на ход исследованного процесса имеет три основные формы: гипотеза, прогноз и план. Эти три формы тесно связанны друг с другом.

• Гипотеза - это научно обоснование положение о структуре объекта, характера элемента и связей его механизма функционирования развития. На уровне гипотезы дается качественная характеристика объекта.

• Прогноз в сравнении с гипотезой имеет большую определенность поскольку основывается не только на качественных, но и количественных характеристиках и поэтому позволяет описывать будущее не только качественно, но и количественно. Следует отметить что прогнозы имеют вероятностный характер

• План – это заранее намеченный порядок осуществления каких-либо работ, действий, мероприятий. План и прогноз представляют собой взаимодополняющие стадии планирования.

Последние годы активно применяются математические методы в моделировании целенаправленной человеческой деятельности.

Для гуманитарных наук математические методы имеют очень большое значение и в основном приходится создавать новые модели каких-то гуманитарных процессов, а не использовать старые, которые уже существуют. В такое ситуации математика нужна не только как метод расчета, а как метод мышления, как язык способный сформулировать понятия и организовывать эти понятия.